Question

14．已知關于x的一元二次方程x²+2mx+3m-2=0有兩個相等的實數根x₁、x₂，則x₁（x₁+x₂）+x₂²的最小值為3．

Answer 1

分析 由題意可得△=b²-4ac=0，然后計算等式的最小值即可得到結論．

解答 解：由題意知，方程x²+2mx+m²+3m-2=0有兩個實數根，
則△=b²-4ac=4m²-4（3m-2）=4m²-12m+8=0，
∴m₁=1，m₂=2，
∵x₁（x₂+x₁）+x₂²
=（x₂+x₁）²-x₁x₂
=（-2m）²-（3m-2）
=4m²-3m+2
∴當m=1時，原式=3，
當m=2時，原式=12，
∴x₁（x₁+x₂）+x₂²的最小值為3，
故答案為：3．

點評 本題考查了一元二次方程根與系數關系，考查了一元二次不等式的最值問題．
總結一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．