Question

15．已知正方形ABCD的邊長為8，點E為BC的中點，連接AE，并延長交射線DC于點F，將△ABE沿著直線AE翻折，點B落在B′處，延長AB′，交直線CD于點M．
（1）判斷△AMF的形狀并證明；
（2）將正方形變?yōu)榫匦蜛BCD，且AB=6，BC=8，若B′恰好落在對角線AC上時，得到圖2，此時CF=10，$\frac{BE}{CE}$=$\frac{3}{5}$；
（3）在（2）的條件下，點E在BC邊上．設(shè)BE為x，△ABE沿直線AE翻折后與矩形ABCD重合的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：△AMF是等腰三角形．只要證明∠MAF=∠F即可．
（2）利用（1）中結(jié)論CF=AC，用勾股定理求出AC即可，由$\frac{BE}{EC}$=$\frac{BE′}{EC}$=sin∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，即可解決問題．
（3）分兩種情形討論①如圖3中，當0＜x≤6時，△ABE翻折后都在矩形內(nèi)部，所以重合部分面積就是三角形面積．②如圖4中，當6＜x≤8時，設(shè)EB交AD于M，分別求解即可．

解答 解：（1）結(jié)論：△AMF是等腰三角形．理由如下：
如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠F，
由翻折可知∠BAE=∠MAE，
∴∠F=∠MAE，
∴MA=MF，
∴△AMF是等腰三角形．

（2）如圖2中，

由（1）可知△ACF是等腰三角形，AC=CF，
在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=8，
∴AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴CF=AC=10，
∵BE=BE′，
∴$\frac{BE}{EC}$=$\frac{BE′}{EC}$=sin∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
故答案為10，$\frac{3}{5}$．

（3）①如圖3中，當0＜x≤6時，△ABE翻折后都在矩形內(nèi)部，所以重合部分面積就是三角形面積，

∴y=$\frac{1}{2}$•6•x=3x，
∴y=3x．
②如圖4中，當6＜x≤8時，設(shè)EB交AD于M，

∴重疊部分的面積=△ABE的面積減去△AB′M的面積，
設(shè)B′M=a，則EM=x-a，AM=x-a，
在Rt△AB′M中，由勾股定理可得6²+a²=（x-a）²，
∴a=$\frac{{x}^{2}-36}{2x}$，
∴y=3x-$\frac{1}{2}$×6×$\frac{{x}^{2}-36}{2x}$=$\frac{3}{2}$x+$\frac{54}{x}$．
綜上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{3x}&{（0＜x≤6）}\\{\frac{3}{2}x+\frac{54}{x}}&{（6＜x≤8）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查相似三角形綜合題、翻折變換、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．