Question

18．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點E在AB上，以AE為直徑的⊙O與BC相切于點D，連接AD．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若⊙O的直徑為10，sin∠DAC=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD．先依據(jù)平行線的判定定理證明OD∥AC，然后依據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明∠OAD=∠DAC，于是可證明AD平分∠BAC．
（2）連接ED、OD．由題意可知AE=10．接下來，在△ADA中，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得AD的長，然后在△ADC中，可求得DC和AC的長，由OD∥AC可證明△BOD∽△BAC，然后由相似三角形的性質(zhì)可列出關(guān)于BD的方程．

解答 解：（1）連接OD．
∵OD、OA是⊙O的半徑，
∴OA=OD．
∴∠OAD=∠ODA．
∵點D是⊙O的切點，
∴∠ODC=90°
又∵∠C=90°，
∴OD∥AC．
∴∠ODA=∠DAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．

（2）如圖2所示：連接ED．

∵⊙O的半徑為5，AE是圓O的直徑，
∴AE=10，∠EDA=90°．
∵∠EAD=∠CAD，sin∠DAC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×10=4$\sqrt{5}$．
∴DC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×4$\sqrt{5}$=4，AC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×4$\sqrt{5}$=8．
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴$\frac{OD}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{5}{8}$=$\frac{BD}{BD+4}$，
解得：BD=$\frac{20}{3}$．

點評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)，列出關(guān)于BD的方程是解題的關(guān)鍵．