Question

7．已知AB∥CD，點(diǎn)P在直線AB、CD之間，連接AP、CP．
（1）探究發(fā)現(xiàn)：（填空）
填空：如圖1，過P作PQ∥AB，
∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
∵AB∥CD（已知）
∴PQ∥CD（平行公理的推論）
∴∠C+∠2=180°
結(jié)論：∠A+∠C+∠APC=360°；
（2）解決問題：
①如圖2，延長PC至點(diǎn)E，AF、CF分別平分∠PAB、∠DCE，試判斷∠P與∠F存在怎樣的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
②如圖3，若∠APC=100°，分別作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分別平分∠PAB，∠CDN，則∠M的度數(shù)為140°（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）過P作PQ∥AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，進(jìn)而得到結(jié)論：∠A+∠C+∠APC=360°；
（2）先根據(jù)AF平分∠BAP，CF平分∠DCE，得出∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAP，∠DCF=$\frac{1}{2}$∠DCE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠F=$\frac{1}{2}$（∠BAP+∠DCP-180°）再根據(jù)∠BAP+∠DCP=360°-∠P，即可得出∠F=$\frac{1}{2}$（360°-∠P-180°）=90°-$\frac{1}{2}$∠P；
（3）延長線段CD，延長BA交CP的延長線于G，設(shè)∠BAP=α，∠G=∠GCF=∠CDN=β，由（1）可得，∠M+∠BAM+∠EDM=360°，即可得到∠M=360°-∠BAM-∠EDM=100°+$\frac{1}{2}$（α-β），再根據(jù)∠BAP是△APG的外角，∠APC=100°，即可得出α-β=80°，代入后可得∠M=100°+$\frac{1}{2}$（α-β）=100°+$\frac{1}{2}$×80°=140°．

解答 解：（1）探究發(fā)現(xiàn)：
如圖1，過P作PQ∥AB，
∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
∵AB∥CD（已知）
∴PQ∥CD（平行公理的推論）
∴∠C+∠2=180°
結(jié)論：∠A+∠C+∠APC=360°；
故答案為：180°，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，平行公理的推論，360；

（2）2∠F+∠P=180°．
理由：如圖2，∵AF平分∠BAP，CF平分∠DCE，
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAP，∠DCF=$\frac{1}{2}$∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠DQF，
∵∠DQF是△CFQ的外角，
∴∠F=∠DQF-∠DCF
=∠BAF-∠DCF
=$\frac{1}{2}$∠BAP-$\frac{1}{2}$∠DCE
=$\frac{1}{2}$（∠BAP-∠DCE）
=$\frac{1}{2}$[∠BAP-（180°-∠DCP）]
=$\frac{1}{2}$（∠BAP+∠DCP-180°）
由（1）可得，∠P+∠BAP+∠DCP=360°，
∴∠BAP+∠DCP=360°-∠P，
∴∠F=$\frac{1}{2}$（360°-∠P-180°）=90°-$\frac{1}{2}$∠P，
即2∠F+∠P=180°；

（3）如圖3，延長線段CD，延長BA交CP的延長線于G，
∵BN∥AP，DN∥PC，AB∥CD，
∴可設(shè)∠BAP=α，∠G=∠GCF=∠CDN=β，
∵AM、DM分別平分∠PAB，∠CDN，
∴∠BAM=$\frac{1}{2}$∠BAP=$\frac{1}{2}$α，∠MDN=$\frac{1}{2}$∠CDN=$\frac{1}{2}$β，
由（1）可得，∠APC+∠BAP+∠DCP=360°，
∴∠PCD=360°-∠APC-∠BAP=260°-α，
∴∠NDE=260°-α，
由（1）可得，∠M+∠BAM+∠EDM=360°，
∴∠M=360°-∠BAM-∠EDM
=360°-$\frac{1}{2}$α-（$\frac{1}{2}$β+260°-α）
=100°+$\frac{1}{2}$（α-β），
又∵∠BAP是△APG的外角，∠APC=100°，
∴∠BAP-∠G=∠APG=80°，
∴α-β=80°，
∴∠M=100°+$\frac{1}{2}$（α-β）=100°+$\frac{1}{2}$×80°=140°．
故答案為：140°．

點(diǎn)評 本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同位角，依據(jù)三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解．