Question

8．如圖1，正方形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸正半軸上，且OA=2，過點(diǎn)B作EF∥AC交x軸于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)E．
（1）求直線EF的解析式；
（2）如圖2，G為直線EF上一動(dòng)點(diǎn)，連接AG，過點(diǎn)C作CH∥AG交EF于點(diǎn)H，當(dāng)∠ACH的度數(shù)為多少時(shí)，四邊形ACHG是菱形，并說明理由；
（3）如圖3，在（2）的條件下（即四邊形ACHG是菱形），當(dāng)點(diǎn)G在x軸上方時(shí)，AG與邊BC交于點(diǎn)M，PQ為線段OC上一動(dòng)線段，且PQ=2-$\sqrt{3}$，當(dāng)四邊形AMQP周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先確定出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AC的解析式，即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，分兩種情況構(gòu)造直角三角形計(jì)算；
（3）先求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AG的解析式，即可求出M的坐標(biāo)，利用對稱確定出點(diǎn)Q的位置，進(jìn)而求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的邊長為2，
∴A（2，0），C（0，2），B（2，2），
∴直線AC的解析式為y=-x+2，
∵EF∥AC，
∴設(shè)直線EF的解析式為y=-x+b，
∵點(diǎn)B在直線EF上，
∴2=-2+b，
∴b=4，
∴直線EF的解析式為y=-x+4；

（2）∵A（2，0），C（0，2），
∴AC=2$\sqrt{2}$，
∵四邊形ACHG是菱形，
∴CH=AC=2$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)H在直線EF上，
∴設(shè)H（m，-m+4），
∵C（0，2），
∴CH=$\sqrt{{m}^{2}+（m-2）^{2}}$，
∴$\sqrt{{m}^{2}+（m-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴m=1±$\sqrt{3}$，
∴H（1-$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$）或（1+$\sqrt{3}$，3-$\sqrt{3}$），

①當(dāng)點(diǎn)H（1-$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$）時(shí)，
如圖2，過點(diǎn)H作HP'⊥y軸于P'，
∴HP'=$\sqrt{3}$-1，
∵C（0，2），
∴CP'=$\sqrt{3}$+1，
在Rt△CHP'中，tan∠HCP'=$\frac{HP'}{CP'}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$=2-$\sqrt{3}$，
過點(diǎn)E作EN⊥CH，
∴tan∠HCM=$\frac{EN}{CH}$=2-$\sqrt{3}$，
∴EN=（2-$\sqrt{3}$）CN，
∴CN=（2+$\sqrt{3}$）EN，
∵CE=2，
根據(jù)勾股定理得，CN²+EN²=CE²，
∴[（2+$\sqrt{3}$）EN]²+EN²=4，
∴EN²=2-$\sqrt{3}$，
在Rt△EHP中，∠HEP'=45°，EP'=3+$\sqrt{3}$-4=$\sqrt{3}$-1，
∴EH²=2（$\sqrt{3}$-1）²=4（2-$\sqrt{3}$）
在Rt△EHN中，sin∠EHN=$\frac{EN}{HE}$=$\sqrt{（\frac{EN}{HE}}）^{2}$=$\sqrt{\frac{E{N}^{2}}{H{E}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4（2-\sqrt{3}）}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EHN=30°，
∴∠ACH=180°-30=150°，

②當(dāng)H（1+$\sqrt{3}$，3-$\sqrt{3}$）時(shí)，如圖1，同①的方法可得，∠ACH=30°．
即：當(dāng)∠ACH的度數(shù)為30°或150°時(shí)，四邊形ACHG是菱形；

（3）∵點(diǎn)G在x軸上方，
∴菱形的內(nèi)角∠ACH=150°，即：圖2的圖形情況，
如圖3，
由（2）知，H（1-$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$），
∴G（3-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$），
∴直線AG的解析式為y=-（2+$\sqrt{3}$）x+2（2+$\sqrt{3}$），
∴M（7-4$\sqrt{3}$，2），
在線段AB上取一點(diǎn)H'使AH'=2-$\sqrt{3}$，
∴H'（2，2-$\sqrt{3}$），
∴點(diǎn)H關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)H（-2，2-$\sqrt{3}$），
連接MH，MH于y軸的交點(diǎn)就是Q，此時(shí)四邊形AMQP的周長最小
∵H（-2，2-$\sqrt{3}$），M（7-4$\sqrt{3}$，2），
∴直線HM的解析式為y=$\frac{3\sqrt{3}-4}{11}$x+$\frac{14-5\sqrt{3}}{11}$，
∴Q（0，$\frac{14-5\sqrt{3}}{11}$），
∴P（0，$\frac{6\sqrt{3}-8}{11}$）．

點(diǎn)評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，正方形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，銳角三角函數(shù)，對稱的性質(zhì)，勾股定理，解（1）的關(guān)鍵是求出直線AC的解析式，解（2）的關(guān)鍵是得出點(diǎn)H的坐標(biāo)，解（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造出圖形找出點(diǎn)Q的位置，是一道涉及知識(shí)點(diǎn)比較多，計(jì)算量比較大的中考�？碱}．