Question

6．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動，連結(jié)DP交AC于點(diǎn)Q．
（1）試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動到AB上何處時(shí)，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）當(dāng)△ABQ的面積是正方形ABCD面積的$\frac{1}{6}$時(shí)，求DQ的長；
（3）若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動到點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，△ADQ恰為等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=AD，∠BAD=90°，∠DAC=∠BAC=45°，利用“邊角邊”證明△ADQ≌△ABQ即可；
（2）過點(diǎn)Q作QE⊥AD于E，利用△ABQ的面積是正方形ABCD面積的$\frac{1}{6}$求出QE，進(jìn)而求出DE最后用勾股定理即可；
（3）點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，△ADQ恰為等腰三角形的情況有三種：QD=QA或DA=DQ或AQ=AD．
①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)B重合時(shí)，QD=QA，此時(shí)△ADQ是等腰三角形；
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C也重合，此時(shí)DA=DQ，△ADQ是等腰三角形；
③當(dāng)AD=AQ=4時(shí)，有CP=CQ，CP=AC-AD而由正方形的對角線的性質(zhì)得到CP的值．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形
∴AD=AB，∠DAQ=∠BAQ=45°  
又 AQ=AQ，
∴△ADQ≌△ABQ
即 無論點(diǎn)P運(yùn)動到AB上何處時(shí)，都有△ADQ≌△ABQ   

（2）如圖1，

作 QE⊥AD于E，由（1）得△ADQ≌△ABQ，
∴S_△ADQ=S_△ABQ
∵△ABQ的面積是正方形ABCD面積的$\frac{1}{6}$
∴$\frac{1}{2}$AD×QE=$\frac{1}{6}$S_{正方形ABCD}=$\frac{8}{3}$，
∴QE=$\frac{4}{3}$
又∵QE⊥AD，∠DAQ=45°
∴∠AQE=∠DAQ=45°
∴AE=QE=$\frac{4}{3}$
∴DE=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$
∴在Rt△DEQ中，QE=$\frac{4}{3}$，DE=$\frac{8}{3}$，
根據(jù)勾股定理得，DQ=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$

（3）若△ADQ是等腰三角形，則有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，
①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)B重合時(shí)，由正方形知QD=QA此時(shí)△ADQ是等腰三角形；
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時(shí)DA=DQ，△ADQ是等腰三角形；
③如圖4，設(shè)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動到CP=x時(shí)，有AD=AQ，
∵AD∥BC
∴∠ADQ=∠CPQ．
又∵∠AQD=∠CQP，∠ADQ=∠AQD，
∴∠CQP=∠CPQ．   
∴CQ=CP=x．
∵AC=4$\sqrt{2}$，AQ=AD=4．
∴x=CQ=AC-AQ=4$\sqrt{2}$-4．
即當(dāng)CP=4$\sqrt{2}$-4時(shí)，△ADQ是等腰三角形．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，（3）需要分類討論．