Question

16．如圖，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中點．以點E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點D，連接ED，井延長ED到點F，使EF=AB，連接FC，問∠F和∠A是否相等？為什么？

Answer 1

分析 由等邊對等角知∠B=∠ACB，ACB=∠EDB，有∠ACB=∠EDB，由同位角相等，兩直線平行知AC∥EF，由平行線的性質知BD=CD，∠A=∠BED，故由ASA證得△EDB≌△FDC⇒∠F=∠BED，所以有∠F=∠A．

解答 證明：∵AB=AC，BE=DE，
∴∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠EDB，
∴AC∥EF，∠A=∠BED，
∵點E是AB的中點，AC∥EF，
∴ED是△ABC的中位線，
∴D是BC的中點，DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}EF$，
∴ED=DF，∠EDB=∠FDC，
在△EDB與△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{∠EDB=∠FDC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△EDB≌△FDC（SAS），
∴∠F=∠BED，
∴∠F=∠A．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質及等腰三角形的性質；解題中利用了等邊對等角，平行線的判定和性質，全等三角形的判定和性質求解，三角形全等的證明是解答本題的關鍵．