Question

6．已知，直線x=2與x軸相交于點(diǎn)A，動(dòng)直線y=0.5x+b分別與x軸，y軸相交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)D在直線x=2上．
（1）若AD=1.5，∠DBC=45°，求b的值．
（2）若△DBC與△OBC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)點(diǎn)D在直線x=2上，且AD=1.5，可得D（2，1.5）或D（2，-1.5）；然后根據(jù)∠DBC=45°，設(shè)BD所在的直線的斜率是k，則$\frac{k-0.5}{1+0.5k}=tan45°=1$或$\frac{0.5-k}{1+0.5k}=tan45°=1$，據(jù)此求出k的值是多少；最后分類討論，求出b的值是多少即可．
（2）首先根據(jù)題意，分4種情況：①當(dāng)DB⊥BC，且DB=2BC時(shí)；②當(dāng)DC⊥BC，且DC=2BC時(shí)；③當(dāng)DB⊥BC，且BC=2DB時(shí)；④當(dāng)DC⊥BC，且BC=2DC時(shí)；然后分類討論，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是多少即可．

解答 解：（1）∵直線x=2與x軸相交于點(diǎn)A，
∴A（2，0），
∵點(diǎn)D在直線x=2上，且AD=1.5，
∴D（2，1.5）或D（2，-1.5），
∵∠DBC=45°，
∴設(shè)BD所在的直線的斜率是k，
則$\frac{k-0.5}{1+0.5k}=tan45°=1$或$\frac{0.5-k}{1+0.5k}=tan45°=1$，
①當(dāng)$\frac{k-0.5}{1+0.5k}=tan45°=1$時(shí)，
解得k=3，
設(shè)BD所在的直線的解析式是y=3x+a，
Ⅰ、如圖1，

將D（2，1.5）代入，得y=3x-4.5，
令y=0，
解得x=1.5，
∴B（1.5，0），代入直線y=0.5x十b，
解得b=-0.75，
此時(shí)∠DBC=135°，不符合題意．
Ⅱ、如圖2，

將D（2，-1.5）代入，得y=3x-7.5，
令y=0，
解得x=2.5，
∴B（2.5，0），代入直線y=0.5x十b，
解得b=-1.25．
②當(dāng)$\frac{0.5-k}{1+0.5k}=tan45°=1$時(shí)，
解得k=-$\frac{1}{3}$，
設(shè)BD所在的直線的解析式是y=-$\frac{1}{3}$x+b，
Ⅰ、如圖3，

將D（2，1.5）代入，得y=-$\frac{1}{3}$x$+2\frac{1}{6}$，
令y=0，
解得x=6.5，
∴B（6.5，0），代入直線y=0.5x十b，
解得b=-3.25．
Ⅱ、如圖4，

將D（2，-1.5）代入，得y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{6}$，
令y=0，
解得x=-2.5，
∴B（-2.5，0），代入直線y=0.5x十b，
解得b=1.25．
綜上，可得
b=-1.25，-3.25或1.25．

（2）∵B（-2b，0），C（0，b），
∴BC=$\sqrt{5}$|b|，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，n），
①當(dāng)DB⊥BC，且DB=2BC時(shí)，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2b+2}=-2}\\{{（2b+2）}^{2}{+n}^{2}=4×{5b}^{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{n=-2}\\{b=-0.5}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，-2）．
②當(dāng)DC⊥BC，且DC=2BC時(shí)，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-b}{2}=-2}\\{{（n-b）}^{2}{+2}^{2}=4×{5b}^{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{n=-3}\\{b=1}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{n=-5}\\{b=-1}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，-3）或（2，-5）．
③當(dāng)DB⊥BC，且BC=2DB時(shí)，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2b+2}=-2}\\{{5b}^{2}=4×{[（2b+2）}^{2}{+n}^{2}]}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{n=-\frac{4}{5}}\\{b=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，$\frac{4}{3}$）或（2，-$\frac{4}{5}$）．
④當(dāng)DC⊥BC，且BC=2DC時(shí)，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-b}{2}=-2}\\{{5b}^{2}=4×{[（n-b）}^{2}{+2}^{2}]}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{n=0}\\{b=4}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{n=-8}\\{b=-4}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，0）或（2，-8）．
綜上，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，-2）、（2，-3）、（2，-5）、（2，$\frac{4}{3}$）、（2，-$\frac{4}{5}$）、（2，0）或（2，-8）．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力．
（2）此題還考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；③兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．