Question

19．設函數y₁=（x-k）²+k和y₂=（x+k）²-k的圖象相交于點A，函數y₁，y₂的圖象的頂點分別為B和C．
（1）畫出當k=0，1時，函數y₁，y₂在直角坐標系中圖象；
（2）觀察（1）中所畫函數圖象的頂點位置，發(fā)現它們均分布在某個函數的圖象上，請寫出這個函數的解析式，并說明理由；
（3）設A（x，y），求證：x是與k無關的常數，并求y的最小值；
（4）設直線l：y=ax+1的圖象分別與函數y₁，y₂的圖象交于A，B和C，D．若AB=CD，寫出所有實數a．（直接寫出a的值即可，不要求寫理由）

Answer 1

分析 （1）k=0時，函數y₁=y₂=x²；k=1時，函數y₁=（x-1）²+1，y₂=（x+1）²-1，根據二次函數的圖象與性質分別畫出它們的圖象即可；
（2）根據二次函數的性質分別求出（1）中所畫函數圖象的頂點坐標，結合函數圖象，發(fā)現頂點在直線y=x的圖象上；
（3）將y₁=（x-k）²+k代入y₂=（x+k）²-k，求出x的值為常數，即可證明x是與k無關的常數，再求出y的最小值；
（4）先將y=ax+1代入y₁=（x-k）²+k，整理得到x²-（2k+a）x+k²+k-1=0，由根與系數的關系得出AB²=（1+a²）（4ka+a²-4k+4），同理得到CD²=（1+a²）（-4ka+a²+4k+4），根據AB=CD得出方程（1+a²）（4ka+a²-4k+4）=（1+a²）（-4ka+a²+4k+4），解方程即可求出實數a的值．

解答 解：（1）如圖所示；


（2）函數y₁=y₂=x²的頂點為（0，0），
函數y₁=（x-1）²+1的頂點為（1，1），
函數y₂=（x+1）²-1的頂點為（-1，-1），
它們都在直線y=x的圖象上，因為它們的坐標均滿足解析式y(tǒng)=x；

（3）將y₁=（x-k）²+k代入y₂=（x+k）²-k，
得（x-k）²+k=（x+k）²-k，
整理得4kx=2k，
∵函數y₁=（x-k）²+k和y₂=（x+k）²-k的圖象相交于點A，
∴k≠0，
解得x=$\frac{1}{2}$，
∴x是與k無關的常數；
此時y=（$\frac{1}{2}$+k）²-k=k²+$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{4}$，即y的最小值為$\frac{1}{4}$；

（4）將y=ax+1代入y₁=（x-k）²+k，
得ax+1=（x-k）²+k，
整理得x²-（2k+a）x+k²+k-1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，
所以AB²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（1+a²）（x₂-x₁）²，
∵（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₂•x₁=（2k+a）²-4（k²+k-1）=4ka+a²-4k+4，
∴AB²=（1+a²）（4ka+a²-4k+4），
同理得到CD²=（1+a²）（-4ka+a²+4k+4），
∵AB=CD，
∴（1+a²）（4ka+a²-4k+4）=（1+a²）（-4ka+a²+4k+4），
∴4ka+a²-4k+4=-4ka+a²+4k+4，
∴8ka=8k，
∵k≠0，
∴a=1．

點評 本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有二次函數的圖象與性質，兩函數交點坐標的求法，二次函數與一元二次方程的關系．正確計算出AB²與CD²是解決第（4）問的關鍵．