Question

2．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為底邊BC上一點(diǎn)，連接AP，在AP左側(cè)作等腰△APD，使PA=PD，∠APD=∠BAC=120°，連接BD，AB=4．
（1）當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中∠PBD的大��；
（2）請(qǐng)求出在（1）情況下點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）①如圖1中，在BC上截取一點(diǎn)F，使得BF=AF，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，可證∠PBD=∠DAP=30°．②當(dāng)點(diǎn)P與F重合時(shí)，∠PBD不存在，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F右側(cè)時(shí)，如圖2中，可證∠PBD=∠ABD+∠ABC=150°；
（2）如圖3中，易知，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段DD′．求出BD，BD′即可解決問(wèn)題；

解答 解：（1）①如圖1中，在BC上截取一點(diǎn)F，使得BF=AF，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，

∵AB=AC，PA=PD，∠BAC=∠APD=120°，
∴∠ABP=∠ADP=30°，
∵∠ABO=∠PDO=30°，∠AOB=∠POD，
∴△AOB≌△POD，
∴$\frac{BO}{OD}$=$\frac{OA}{OP}$，
∴$\frac{BO}{OA}$=$\frac{OD}{OP}$，∵∠BOD=∠AOP，
∴△BOD∽△AOP，
∴∠PBD=∠DAP=30°．
②當(dāng)點(diǎn)P與F重合時(shí)，∠PBD不存在，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F右側(cè)時(shí)，如圖2中，

同法由△AOD∽△POB，推出△BOD∽△POA，可得∠DBO=∠APD=120°，
∴∠PBD=∠ABD+∠ABC=150°，
∴當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，∠PBD的值為30°或120°或不存在．

（2）如圖3中，易知，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段DD′．

易知BD=AB=4，BD′=2AB=8，
∴DD′=BD+BD′=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡、解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．