Question

12．如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于B、A兩點(diǎn)，若OA、OB的長(zhǎng)分別是方程若x²-7mx+48=0的兩根且OB＞OA，AB=10．AC平分∠BAO交x軸于點(diǎn)C．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）直線AC的解析式．
（3）直線AC上是否存在點(diǎn)P，使A、B、P三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合AB的長(zhǎng)，利用勾股定理可求得m的值，進(jìn)一步可求得OA、OB的值，則可求得A、B的坐標(biāo)；
（2）過(guò)C點(diǎn)作AB的垂線交AB于點(diǎn)M，可證得△OAC≌△MAC，在Rt△BCM中，由勾股定理可求得OC的長(zhǎng)，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式；
（3）由條件只能有∠APB=90°和∠PBA=90°，可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出PA、PB和AB，利用勾股定理可列出方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）x²-7mx+48=0的兩根是OA、OB，
∴OA+OB=7m，OA•OB=48，
∵OA²+OB²=100，
∴（OA+OB）²-2OA•OB=100，即49m²-96=100，解得m=2或m=-2（舍去），
∴x²-14x+48=0，解得x₁=6，x₂=8，
∴OA=6，OB=8，
∴A（0，6），B（8，0）；
（2）過(guò)C點(diǎn)作AB的垂線交AB于點(diǎn)M，如圖，

∵AC平分∠BAO，
∴∠OAC=∠CAB，
在△OAC和△MAC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAC=∠CAB}\\{∠AOC=∠AMC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$
∴△OAC≌△MAC（AAS），
∴CM=CO，AM=AO，
∵BC²=CM²+MB²
∴OC=3，
∴C（3，0），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），
代入A（6，0）C（3，0）得$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-2x+6；
（3）存在．
∵點(diǎn)P在直線AC上，
∴可設(shè)P（x，-2x+6），
∵A（0，6），B（8，0），
∴PA²=x²+（-2x+6-6）²=5x²，PB²=（x-8）²+（-2x+6）²=5x²-40x+100，且AB²=100，
∵∠BAC＜90°，
∴當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí)，有∠APB=90°和∠PBA=90°，
①當(dāng)∠APB=90°時(shí)，則有PA²+PB²=AB²，即5x²+5x²-40x+100=100，解得x=0（與A重合，舍去）或x=4，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-2）；
②當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，則有PB²+AB²=PA²，即5x²-40x+100+100=5x²，解得x=5，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，-4）；
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-2）或（5，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、全等三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、勾股定理、方程思想和分類討論思想等知識(shí)．在（1）中求得m的值是解題的關(guān)鍵，在（2）中證得△OAC≌△MAC是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出直角頂點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情況．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．