Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，AB⊥y軸于點(diǎn)D，AB=7，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)C坐標(biāo)為（5，0），連接CB，CB的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)E，ED=6．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)F在x軸的負(fù)半軸上，OF=BD，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CF以1個(gè)單位/秒的速度勻速向終點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從O點(diǎn)出發(fā)，沿射線OD以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，連接AQ、PQ，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．設(shè)線段AF、AQ、FP、PQ圍成的圖形面積為S（S≠0），求S與t之間的關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在線段OF上時(shí)，連接FQ、AP，直線AP交y軸于點(diǎn)G，當(dāng)∠AGQ+∠QAD=∠PAB時(shí)，求△PFQ的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得：BD∥x軸，即BD∥OC，則△EDB∽△EOC，則$\frac{BD}{OC}=\frac{ED}{EO}$，代入可求得OD的長(zhǎng)，寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）分兩種情況利用面積和差計(jì)算即可得出函數(shù)關(guān)系式；
（3）先作點(diǎn)G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，構(gòu)造出△AMQ是等腰三角形的兩腰相等建立方程求解即可．

解答
解：（1）如圖1，∵C的坐標(biāo)為（5，0），
∴OC=5，
∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，AB⊥y軸與點(diǎn)D，
∴BD=3，BD∥OC，
∴△EDB∽△EOC，
∴$\frac{BD}{OC}=\frac{ED}{EO}$，
∵ED=6，
∴$\frac{3}{5}=\frac{6}{6+OD}$，
∴OD=4，
∴D（0，4）；

（2）由題意得：PC=t，OP=5-t，OQ=t，
∵AB=7，BD=3
∴AD=7-3=4，OF=BD=3
分兩種情況：
①當(dāng)0≤t≤5時(shí)，如圖2，連接OA，
S=S_△AFO+S_△AQO+S_△POQ
=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×t×4+$\frac{1}{2}$×（5-t）×t
S=-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+$\frac{9}{2}$t+6
②當(dāng)5＜t≤8時(shí)，如圖3，連接OA，

S=S_△AOF+S_△AOQ-S_△POQ
=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×t×4-$\frac{1}{2}$×t×（t-5）
S=-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+$\frac{9}{2}$t+6
綜上所述，S與t之間的關(guān)系式為：S=-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+$\frac{9}{2}$t+6（0≤t≤8）；
（3）如圖4，

作點(diǎn)G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，
∴∠MAB=∠GAB，∠AMD=∠AGD，
∵∠AGQ+∠QAD=∠PAB，
∴∠MAQ=∠AMQ，
∴MQ=AQ，
∴MQ²=AQ²，
設(shè)點(diǎn)M（0，4+m），∴G（0，4-m），
由（2）知Q（0，t），
∴MQ=m+（4-t），
∴MQ²=[m+（4-t）]²=m²+8m-2mt+（4-t）²，
∵A（-4，4），∴AQ²=16+（t-4）²，
∴m²+8m-2mt+（4-t）²=16+（t-4）²，①
∵G（0，4-m），
∴設(shè)直線AG解析式為y=kx+4-m，
∵點(diǎn)A（-4，4），F(xiàn)（5-t，0）在直線AG上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+4-m=4}\\{（5-t）k+4-m=0}\end{array}\right.$，
∴mt+16=9m②，
聯(lián)立①②得m=2（舍）或m=8，
∴t=7，
∴P（-2，0），Q（0，7），
∵F（-3，0），
∴S_△PFQ=$\frac{1}{2}$PF×OQ=$\frac{1}{2}$×1×7=$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的面積公式，等腰三角形的性質(zhì)，平面坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，構(gòu)造出等腰三角形是解本題關(guān)鍵，用方程的思想解決問題也是解本題的關(guān)鍵，是一道中等難度的中考�？碱}．