Question

2．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，另一直角頂點(diǎn)D在如圖位置關(guān)系在AB上運(yùn)動，且兩邊分別交兩直角邊AC、BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若D點(diǎn)到這兩點(diǎn)線段長度之比為1：2，則AD=$\frac{15}{11}$．

Answer 1

分析 過D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，得到四邊形MDNC是矩形，證得△DME∽△DNF，得到比例式$\frac{DM}{DN}=\frac{DE}{DF}=\frac{1}{2}$求得DN=2DM，通過S_△ADC+S_△BDC=S_△ABC，得到3DM+4×2DM=12求出MC=DN=$\frac{24}{11}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)果．

解答 解：過D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形MDNC是矩形，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDE=90°-∠EDN，
∵∠EDF=90°，
∴∠NDF=90°-∠EDN，
∴∠MDE=∠NDF，
∴△DME∽△DNF，
∴$\frac{DM}{DN}=\frac{DE}{DF}=\frac{1}{2}$，
∴DN=2DM，
∵S_△ADC+S_△BDC=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}AC•DM+\frac{1}{2}BC•DN$=$\frac{1}{2}AC•BC$，
即3DM+4×2DM=12，
∴MC=DN=$\frac{24}{11}$，
∴AM=AC-MC=3-$\frac{24}{11}$=$\frac{9}{11}$，
∴AD=$\sqrt{D{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12}{11}）^{2}+（\frac{9}{11}）^{2}}$=$\frac{15}{11}$．
故答案為：$\frac{15}{11}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．