Question

5．如圖1，已知等腰三角形ABC的頂角∠ABC=120°，等邊三角形DEF的邊DE=AB=1，若△DEF不動，將△ABC從BC與DF重合的位置開始（如圖1），沿直線DE方向平移，且保持AB與DE在同一直線上，直到點A與點E重合為止．
（1）圖2所示的是，在平移過程中，點B在DE上時，△ABC的AC、BC兩邊分別與△DEF的DF、EF兩邊交于點P，Q，R，求證：DB=PF；
（2）設(shè)平移距離DB=x，△ABC和△DEF重疊部分的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)題意得到AD=DP，結(jié)合AB=DE=DF=1，即可證明DB=PF；
（2）當0＜x＜1時，用x表示出△PFR和△BQE的面積，利用△DEF的面積減去△PFR和△BQE的面積即可得到S與x的函數(shù)關(guān)系式；當1≤x＜2時，用x表示出△AER的面積即可．

解答 （1）證明：∵∠FDB=60°，∠A=30°，
∴∠APD=30°，
∴AD=DP，
∵AB=DE=DF，
∴AD+DB=DP+PF，
∴DB=PF；

（2）當0＜x＜1時，
∵DB=x，
∴PF=x，
∵∠A=∠APD=30°，
∴∠FPR=30°，
∵∠F=60°
∴∠FRP=90°，
∴PR=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴S_△PFR=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²=$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²，
∴S_△BQE=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-x）2=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（1-x）2，
∴△ABC和△DEF重疊部分的面積為S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（1-x）²=-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x（0＜x＜1），
當1≤x＜2時，如圖
BD=x，AD=x-1，AE=2-x，
∵∠CAB=30°，∠AER=60°，
∴∠ARE=90°，
∴RE=1-$\frac{1}{2}$x，AR=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴S_△AER=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$x）（$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
綜上S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3\sqrt{3}{x}^{2}}{8}+\frac{\sqrt{3}}{2}x（0＜x＜1）}\\{\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}（1≤x＜2）}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查了幾何變換綜合題，此題涉及到等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)以及三角形面積的計算等知識，此題難度不大，解答（2）問需要分區(qū)間討論．