Question

19．如果正三角形的邊長(zhǎng)為a，那么它的外接圓的半徑r和內(nèi)切圓的半徑d分別是$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，它們之間滿足的關(guān)系是：r=2d．

Answer 1

分析 設(shè)O為正三角形ABC的外心（或內(nèi)心），作OD⊥BC于D，連接OB，由正三角形的性質(zhì)得出BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a，∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，由三角函數(shù)求出r=OB=$\frac{BD}{cos30°}$，d=OD=$\frac{1}{2}$r，即可得出結(jié)果．

解答 解：如圖所示：
設(shè)O為正三角形ABC的外心（或內(nèi)心），作OD⊥BC于D，連接OB，
則BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a，∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴r=OB=$\frac{BD}{cos30°}$=$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
d=OD=$\frac{1}{2}$r=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
∴r=2d；
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，$\frac{\sqrt{3}}{6}$a；r=2d．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正三角形的性質(zhì)、三角形的外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑、三角函數(shù)；通過作輔助線解直角三角形求出r和d是解決問題的關(guān)鍵．