Question

11．如圖，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E分別為AB，AC邊上的點．AD=AE，AF⊥BE交BC于點F，過點F作FG⊥CD，交BE于點G，交AC于點M．
（1）求證：GM=GE；
（2）求證：BG=AF+FG．

Answer 1

分析 （1）首先證明△ACD≌△ABE，得出∠1=∠3，再由∠BAC=90°，可得∠3+∠2=90°，結(jié)合FG⊥CD可得出∠3=∠CMF，∠GEM=∠GME，繼而可得出結(jié)論．
（2）先大致觀察三者的關系，過點B作AB的垂線，交GF的延長線于點N，利用（1）的結(jié)論可將AF轉(zhuǎn)化為NF，BG轉(zhuǎn)化為NG，從而在一條直線上得出三者的關系．

解答 （1）證明：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，
∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°，
又∵AD=AE，∠CAD=∠BAE，
在△ACD與△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAD=∠BAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠1=∠3，
∵∠BAC=90°，
∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠4+∠3=90°
∵FG⊥CD，
∴∠CMF+∠4=90°，
∴∠3=∠CMF，
∴∠GEM=∠GME，
∴EG=MG，△EGM為等腰三角形．
（2）證明：過點B作AB的垂線，交GF的延長線于點N，如圖：
∵BN⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠FBN=45°=∠FBA．
∵FG⊥CD，
∴∠BFN=∠CFM=90°-∠DCB，
∵AF⊥BE，
∴∠BFA=90°-∠EBC，∠5+∠2=90°，
由（1）可得∠DCB=∠EBC，
∴∠BFN=∠BFA，
又∵BF=BF，
在△BFN與△BFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCB=∠EBC}\\{BF=BF}\\{∠BFN=∠BFA}\end{array}\right.$，
∴△BFN≌△BFA（ASA），
∴NF=AF，∠N=∠5，
又∵∠GBN+∠2=90°，
∴∠GBN=∠5=∠N，
∴BG=NG，
又∵NG=NF+FG，
∴BG=AF+FG．

點評 本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，難度較大，尤其是第二問的證明，要學會要判斷三條線段之間的關系，一般都需要轉(zhuǎn)化到同一條直線上進行，第二問另外還可以有如下解法，①設CD、BE的交點為N，連接AN（見下圖）．先證AF=BN，再證FG=NG，②過點C作AC的垂線，交AF的延長線于點H（見下圖）．先證AH=BE，再證FM=FH，同學們可以自己試一下．