Question

11．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、F是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D、F分別作BC的平行線，分別交AC于點(diǎn)E、G．記△ADE的面積為S₁，四邊形DEGF的面積為S₂，四邊形FGCB的面積為S₃．
（1）當(dāng)AD=DF=FB時(shí)，求S₁：S₂：S₃；
（2）當(dāng)AD=FB，且S₁+S₂=S₃，求EG：GC的值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)D、E、F、G分別是邊AB、AC的三等分點(diǎn)，可得DF∥EG∥BC，AD：AE：AB=1：2：3，即可證得△ADF∽△AEG∽△ABC，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得S_△ADF：S_△AEG：S_△ABC的值，繼而求得答案；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，AH交DE于M、交FG于N，如圖所示：設(shè)ED=a，GF=b，AM=h，則BC=a+b，由△AED∽△AFG，得到$\frac{AM}{AN}$=$\frac{DE}{FG}$，于是求得AN=$\frac{a}$h，MN=（$\frac{a}$-1）h，求出圖形的面積S₁=$\frac{1}{2}$ah，S₂=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{a}$-1）h，S₃=$\frac{1}{2}$（b+a+b）h，由于S₁+S₂=S₃，于是得到方程$\frac{1}{2}$ah+$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{a}$-1）h=$\frac{1}{2}$（b+a+b）h，得到b=（1+$\sqrt{2}$）a，根據(jù)平行線分線段成比例得到AG：AE=1+$\sqrt{2}$，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AD=DF=FB，
∵DE∥FG∥BC，∴AD：AF：AB=1：2：3，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∴S_△ADE：S_△AFG：S_△ABC=1：4：9，
∴S₁：S₂：S₃=1：3：5．

（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，AH交DE于M，交FG于N，如圖所示：
設(shè)ED=a，GF=b，AM=h，
則BC=a+b，
∵DE∥FG，
∴△AED∽△AFG，
∴$\frac{AM}{AN}$=$\frac{DE}{FG}$，
∴AN=$\frac{a}$h，MN=（$\frac{a}$-1）h，
∴S₁=$\frac{1}{2}$ah，S₂=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{a}$-1）h，S₃=$\frac{1}{2}$（b+a+b）h，
∵S₁+S₂=S₃，
∴$\frac{1}{2}$ah+$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{a}$-1）h=$\frac{1}{2}$（b+a+b）h，
解得：b=（1+$\sqrt{2}$）a，
∴AG：AE=1+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{EG}{AE}$=$\sqrt{2}$，
∵AD=BF，DE∥GF∥BC，
∴EG：GC=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，理解相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．