Question

3．如圖，在⊙0中，弦AB⊥直徑CD，垂足為M．若0M=MD，連AC、BC，
（1）求證：△ABC是等邊三角形．
（2）過(guò)M作AC的平行線交⊙0于T，若⊙0半徑為4．如圖，求TM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理得出AM=MB，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AC=BC，連接OA，OB，根據(jù)OA=OD=2OM，得出∠OAM=30°，進(jìn)而得出∠AOD=60°，∠AOB=120°，根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系即可求得∠ACB=60°，從而證得△ABC是等邊三角形．
（2）連接OT，作ON⊥MT于N，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠TMB=∠A=60°，得出∠OMN=90°-60°=30°，根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)求得ON=1，然后根據(jù)勾股定理即可求得TM的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：如圖1，∵弦AB⊥直徑CD，
∴AM=MB，
∴AC=BC，
連接OA，OB，
∵0M=MD，
∴OA=OD=2OM，
∴∠OAM=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形．
（2）解：如圖2，連接OT，作ON⊥MT于N，
∵⊙0半徑為4，
∴OM=MD=2，
∵M(jìn)T∥AC，
∴∠TMB=∠A=60°，
∴∠OMN=90°-60°=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$OM=1，
∴MN=$\sqrt{O{M}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{3}$，NT=$\sqrt{O{T}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴TM=MN+NT=$\sqrt{3}$+$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，平行線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理的應(yīng)用等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．