Question

5．如圖，已知雙曲線y=$\frac{k}{x}$和直線y=mx+n交于點A和B，B點的坐標(biāo)是（2，-3），AC垂直y軸于點C，AC=$\frac{3}{2}$；
（1）求雙曲線和直線的解析式；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)B在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，B點的坐標(biāo)是（2，-3），求出k值，根據(jù)AC垂直y軸于點C，AC=$\frac{3}{2}$，確定點A的橫坐標(biāo)，求出縱坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；
（2）求出直線AB與x軸的交點，根據(jù)面積公式求出△AOB的面積．

解答 解：（1）∵B在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，B點的坐標(biāo)是（2，-3），
∴k=-6，∴雙曲線的解析式為：y=-$\frac{6}{x}$．
∵AC垂直y軸于點C，AC=$\frac{3}{2}$，
∴點C的橫坐標(biāo)為-$\frac{3}{2}$，
則縱坐標(biāo)為4，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-3}\\{-\frac{3}{2}k+b=4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=1}\end{array}\right.$
∴直線AB的解析式為y=-2x+1；
（2）直線y=-2x+1與x軸的交點坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0），
△AOB的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3=$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．