Question

20．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作∠DBP=30°，交⊙O于點(diǎn)P，連接DE、CP、OP．
（1）BD與DC的數(shù)量關(guān)系是相等，DE與BP的位置關(guān)系是平行；
（2）求∠BOP的度數(shù)；
（3）求證：CP是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AD，如圖1，根據(jù)圓周角定理，由AB為⊙O的直徑得到∠ADB=90°，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD=DC；再利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠ABC=∠ACB=75°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠DEC=∠ABC=75°，于是可計(jì)算出∠EDC=30°，所以∠EDC=∠DBP=30°，則根據(jù)平行線的判定方法即可得到DE∥BP．
（2）由∠DBP=30°，∠ABC=75°得∠OBP=45°，則利用OB=OP得到∠OPB=∠OBP=45°，所以∠BOP=90°；
（3）作CH⊥AB于H，如圖，在Rt△AHC中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CH=$\frac{1}{2}$AC，則CH=$\frac{1}{2}$AB=OP，再證明四邊形OPCH為矩形得到∠OPC=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到CP是⊙O的切線．

解答 （1）解：連結(jié)AD，如圖1，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC；
∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
而∠DEC=∠ABC=75°，
∴∠EDC=180°-∠DEC-∠DCE=30°，
∴∠EDC=∠DBP=30°，
∴DE∥BP．
故答案為相等，平行；
（2）解：∵∠DBP=30°，∠ABC=75°，
∴∠OBP=45°，
∵OB=OP，
∴∠OPB=∠OBP=45°，
∴∠BOP=90°；
（3）證明：作CH⊥AB于H，如圖，
在Rt△AHC中，∵∠HAC=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC，
而AC=AB，
∴CH=$\frac{1}{2}$AB，
∴CH=OP，
∵∠POH=90°，CH⊥OH，
∴OP∥CH，
∴四邊形OPCH為平行四邊形，
而∠POH=90°，
∴四邊形OPCH為矩形，
∴∠OPC=90°，
∴OP⊥PC，
∴CP是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．