Question

19．如圖，在?ABCD中，DE平分∠ADC交AB于點G，交CB延長線于E，BF平分∠ABC交AD的延長線于F．
（1）若AD=5，AB=8，求GB的長．
（2）求證：∠E=∠F．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)得出∠2=∠AGD，進而得出AD=AG，得出答案即可；
（2）首先證明∠CDE=∠ABF，再證明ED∥FB，然后再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AF∥CE，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形BFDE是平行四邊形，進而得出答案．

解答 （1）解：∵在?ABCD中，DE平分∠ADC交AB于點G，BF平分∠ABC交AD的延長線于F，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，AB∥DC，
∴∠2=∠AGD，
∴∠1=∠AGD，
∴AD=AG=5，
∵AB=8，
∴BG=8-5=3；

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ADC=∠ABC，DC∥AB，AD∥BC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠CDE=∠ABF，
∵DC∥AB，
∴∠AGD=∠CDE，
∴∠AGD=∠FBA，
∴ED∥FB，
∵AF∥CE，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∴∠E=∠F．

點評 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是掌握平行四邊形兩組對邊分別平行，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．