Question

10．在一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形材料上截取一扇形，圍成母線(xiàn)長(zhǎng)為a的圓錐．
（1）試設(shè)計(jì)兩種不同的截法（要求每一種截法盡量減少浪費(fèi)的材料），并把截法在圖上表示出來(lái)；
（2）分別求出（1）中兩種不同的截法所得的圓錐底面的半徑和高；
（3）（1）中哪一種截法所得的圓錐側(cè)面積較大？

Answer 1

分析 （1）實(shí)際上帶有很強(qiáng)的操作性，學(xué)生可以實(shí)際畫(huà)畫(huà)試試，找出方法．
（2）根據(jù)不同的截法，計(jì)算其所得的圓錐底面的半徑和高．
（3）根據(jù)不同的截法，計(jì)算其圓錐側(cè)面積，比較哪種更好．

解答 解：（1）設(shè)計(jì)方案示意圖如下．

（2）設(shè)圓錐底面的半徑r，圓錐底面的高h(yuǎn)，依題意有：
扇形弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，
第一種圖弓形的周長(zhǎng)為：$\frac{90πa}{180}$=$\frac{πa}{2}$，
∴2πr=$\frac{πa}{2}$，
∴r=$\frac{a}{4}$，
∴h=$\sqrt{{a}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$a，
第二種圖弓形的周長(zhǎng)為：$\frac{60πa}{180}$=$\frac{πa}{3}$，
∴2πr=$\frac{πa}{3}$，
∴r=$\frac{a}{6}$，
∴h=$\sqrt{{a}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{\sqrt{35}}{6}$a；
（3）∵①圖扇形面積為：$\frac{90π{a}^{2}}{360}$=$\frac{π{a}^{2}}{4}$，
②圖扇形面積為：$\frac{60π{a}^{2}}{360}$=$\frac{π{a}^{2}}{6}$，
∴第一種截法所得的圓錐側(cè)面積較大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)圖，正方形的性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)，弓形的計(jì)算，扇形的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用等．