Question

6．已知：如圖，AB∥CD，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，連接EF，∠AEF、∠CFE的平分線交于點(diǎn)G，∠BEF、∠DFE的平分線交于點(diǎn)H．
（1）求證：四邊形EGFH是矩形．
（2）小明在完成（1）的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索，過G作MN∥EF，分別交AB、CD于點(diǎn)M、N，過H作PQ∥EF，分別交AB、CD交于點(diǎn)P、Q，得到四邊形MNQP．
此時(shí)，他猜想四邊形MNQP是菱形，請(qǐng)先在下列圖中補(bǔ)全他的證明思路，并寫出證明過程．

Answer 1

分析 （1）利用角平分線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠FEH+∠EFH=90°，進(jìn)而得出∠GEH=90°，進(jìn)而求出四邊形EGFH是矩形；
（2）利用菱形的判定方法要證?MNQP是菱形，只要證MN=NQ即可．

解答 （1）證明：∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH=$\frac{1}{2}$∠BEF，
∵FH平分∠DFE，
∴∠EFH=$\frac{1}{2}$∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∴∠FEH+∠EFH=$\frac{1}{2}$（∠BEF+∠DFE）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，
∴∠EHF=180°-（∠FEH+∠EFH）=180°-90°=90°，
同理可得：∠EGF=90°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠GEF=$\frac{1}{2}$∠AEF，
∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH=$\frac{1}{2}$∠BEF，
∵點(diǎn)A、E、B在同一條直線上，
∴∠AEB=180°，
即∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠FEG+∠FEH=$\frac{1}{2}$（∠AEF+∠BEF）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
即∠GEH=90°，
∴四邊形EGFH是矩形；
（2）解：由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，
要證?MNQP是菱形，只要證MN=NQ，由已知條件：FG平分∠CFE，MN∥EF，
故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，易證 GE=FH、∠GME=∠FQH．
故只要證∠MGE=∠QFH，易證∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH；再證出NG=NF，即可得證．
理由如下：∵M(jìn)N∥EF，PQ∥EF，
∴∠MGE=∠GEF，MN∥PQ，
∵AB∥CD，
∴四邊形MNQP是平行四邊形，
∴∠GME=∠FQH，
由（1）得：∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，GE=FH，
∴∠MGE=∠QFH，
在△MGE和△QFH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GME=∠FQH}&{\;}\\{∠MGE=∠QFH}&{\;}\\{GE=FH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MGE≌△QFH（AAS），
∴GM=FQ，
∵∠MGE=∠QFH，∠EGF=∠HFG=90°，
∴∠NGF=∠NFG，
∴NG=NF，
∴MN=NQ，
∴四邊形MNQP是菱形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了矩形的判定以及菱形的判定和角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意得出證明菱形的方法是解題關(guān)鍵．