Question

15．如圖，已知直線y=$\frac{4}{3}$x-4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上找一動點P，連接PA、PB，則△PAB面積的最大值是（　　）

• A． 10
• B． 9
• C． 6+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
• D． 9$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如圖過點C作CH⊥AB于H，延長HC交⊙C于P′．點P與P′重合時，△PAB的面積最大，求出P′H、AB的值即可解決問題．

解答 解：如圖過點C作CH⊥AB于H，延長HC交⊙C于P′．

∵直線AB的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-4，
∴直線CH的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-4}\\{y=-\frac{4}{3}x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴H（$\frac{12}{5}$，-$\frac{4}{5}$），
∴CH=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{9}{5}）^{2}}$=3，P′H=3+1=4，
∵A（5，0），B（0，-4），
∴AB=5，
∵點P與P′重合時，△PAB的面積最大，
∴△PAB面積的最大值為$\frac{1}{2}$×5×4=10，
故選A．

點評 本題考查一次函數圖象上點的特征、點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找點P的位置確定最大值，屬于中考�？碱}型．