Question

4．如圖，四邊形OABC是面積為9的正方形，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）將正方形OABC分別沿直線AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC，設(shè)線段MC′、NA′分別與函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于點(diǎn)E、F，求線段EF所在直線的解析式y(tǒng)₁；
（3）當(dāng)y₁＞y時(shí)，請直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正方形的面積可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）由折疊的性質(zhì)可求得E、F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線EF的解析式；
（3）結(jié)合圖象可求得答案．

解答 解：
（1）∵四邊形OABC是面積為9的正方形，
∴OA=OC=3，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，3），
將x=3，y=3代入反比例函數(shù)解析式得k=xy=3×3=9
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{9}{x}$；

（2）∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得，
∴ON=OM=2OA=6，
∴點(diǎn)E橫坐標(biāo)為6，點(diǎn)F縱坐標(biāo)為6．
∵點(diǎn)E、F在函數(shù)y=$\frac{9}{x}$的圖象上，
∴當(dāng)x=6時(shí)，y=$\frac{3}{2}$，即E（6，$\frac{3}{2}$），
當(dāng)y=6時(shí)，x=$\frac{3}{2}$，即F（$\frac{3}{2}$，6），
設(shè)直線EF解析式為y₁=mx+n，將E、F兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得$\left\{\begin{array}{l}{6m+n=\frac{3}{2}}\\{\frac{3}{2}m+n=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線EF的解析式為y₁=-x+$\frac{15}{2}$；

（3）當(dāng)y₁＞y時(shí)，即直線在反比例函數(shù)圖象的上方時(shí)所對應(yīng)的自變量的取值范圍，
∴當(dāng)y₁＞y時(shí)，$\frac{3}{2}$＜x＜6．

點(diǎn)評 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想等知識．在（1）中求得B點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得E、F的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．