Question

16．如圖，在?ABCD中，BC=2AB，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，AE，BF交于點O，連接EF，OC．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若BC=8，∠ABC=60°，求OC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；
（2）過點O作OG⊥BC于點G．分別在Rt△OEG，Rt△OCG中解直角三角形即可；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC∥AD，BC=AD．
∵E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，
∴$BE=\frac{1}{2}BC，AF=\frac{1}{2}AD$．
∴BE=AF．
∴四邊形ABEF是平行四邊形．
∵BC=2AB，
∴AB=BE．
∴平行四邊形ABEF是菱形．

（2）解：過點O作OG⊥BC于點G．

∵E是BC的中點，BC=8，
∴BE=CE=4．
∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，
∴∠OBE=30°，∠BOE=90°．
∴OE=2，∠OEB=60°．
∴GE=1，OG=$\sqrt{3}$．
∴GC=5．
∴OC=$2\sqrt{7}$．

點評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、拯救世界30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．