Question

14．拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（1，0）、C（0，-2）三點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）P是拋物線x軸下方的一個動點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似（相似比不為1）？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D，設(shè)△DCA的面積為S，則求S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）（x-1），把（0，-2）代入拋物線的解析式，可得a=-$\frac{1}{2}$，由此即可解決問題．
（2）設(shè)P（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2．），因P在x軸下方，當(dāng)x＞4時，若△Rt△OAC∽Rt△MPA，則有：$\frac{PM}{MA}$=$\frac{OA}{OC}$=2，若△Rt△OAC∽Rt△MAP，分別列出方程即可．當(dāng)x＜1，同法可求；
（3）設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2，過D作y 軸的平行線交AC于E，由題意可求得直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，可得E點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{2}$t-2），推出DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2-（$\frac{1}{2}$x-2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t，可得S_△DAC=$\frac{1}{2}$•（-$\frac{1}{2}$t²+2t）•4=-t²+4t=-（t-2）²+4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）（x-1），
把（0，-2）代入拋物線的解析式，可得a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2．

（2）設(shè)P（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2．），因P在x軸下方，當(dāng)x＞4時，
若△Rt△OAC∽Rt△MPA，則有：$\frac{PM}{MA}$=$\frac{OA}{OC}$=2，即$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}{x-4}$=-2，解得x=5或x=4（舍去）．
若△Rt△OAC∽Rt△MAP，則即$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}{x-4}$=-$\frac{1}{2}$，解得：x=2或x=4，均不符合x＞4，舍去．
當(dāng)x＜1時，
若△Rt△OAC∽Rt△MPA，則有：$\frac{PM}{MA}$=$\frac{OA}{OC}$=2，即$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}{x-4}$=2，解得x=-3或x=4（舍去）．
若△Rt△OAC∽Rt△MAP，則即$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}{x-4}$=$\frac{1}{2}$，解得：x=0或x=4，均不符合x＞4，舍去．
故P（-3，-14）或（5，-2）．

（3）設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2，
過D作y 軸的平行線交AC于E，
由題意可求得直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{2}$t-2），
∴DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2-（$\frac{1}{2}$x-2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t，
∴S_△DAC=$\frac{1}{2}$•（-$\frac{1}{2}$t²+2t）•4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴當(dāng)t=2時，△DAC的面積最大為4，
故0＜S≤4．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題．