Question

13．如圖，直線l與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于B，C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)A，連接BO，△AOB的面積為6．
（1）若B、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1、3，求k的值；
（2）若B、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a、2a，求k的值．

Answer 1

分析 （1）作BD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，如圖，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到B（1，k），B（3，$\frac{k}{3}$），則OD=1，DE=2，BD=3CE，根據(jù)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，得到AE=1，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算k的值．
（2）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到B（a，$\frac{k}{a}$），B（2a，$\frac{k}{2a}$），則OD=a，DE=a，BD=2CE，所以CE為△ABD的中位線，得到AE=DE=a，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算k的值．

解答 解：（1）作BD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，如圖，
∵B、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1、3，
∴B（1，k），B（3，$\frac{k}{3}$），
∴OD=1，DE=2，BD=3CE，
∵CE∥BD，
∴△ACE∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AE+DE}$=$\frac{CE}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AE}{AE+2}$=$\frac{1}{3}$，
∴AE=1，
∴OA=4，
∵△AOB的面積為6，
∴$\frac{1}{2}$×4•k=6，
∴k=3．
（2）作BD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，如圖，
∵B、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a、2a，
∴B（a，$\frac{k}{a}$），B（2a，$\frac{k}{2a}$），
∴OD=a，DE=a，BD=2CE，
∴CE為△ABD的中位線，
∴AE=DE=a，
∴OA=3a，
∵△AOB的面積為6，
∴$\frac{1}{2}$•3a•k=6，
∴k=$\frac{4}{a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．