Question

1．在如圖中的網格中建立平面直角坐標系，在坐標平面內描出點O（0，0），P（5，5），M（2，-1），N（-1，2），連接OP，OM，ON，PM，PN，并直接回答下列問題：
（1）判斷△OPN與△MOP的形狀，并說明理由；
（2）求證：OP平分∠NPM．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理的逆定理求出△PNO是直角三角形，同理可得出△PMO是直角三角形，即可得出答案；
（2）利用角平分線的性質進行證明．

解答 （1）解：△OPN與△MOP都是直角三角形，理由如下：
∵NO=$\sqrt{5}$，MO=$\sqrt{5}$，NP=3$\sqrt{5}$，PM=3$\sqrt{5}$，OP=5$\sqrt{2}$，
∴NO²+NP²=OP²，
∴△PNO是直角三角形，
同理可得出△PMO是直角三角形；

（2）證明：由（1）知，△PNO是直角三角形，△PMO是直角三角形，則OM⊥PM，ON⊥PN．
又∵OM=ON=$\sqrt{5}$，
∴OP是∠NPM的平分線，即OP平分∠NPM．

點評 此題主要考查了坐標與圖形性質以及勾股定理和角平分線的性質等知識，利用勾股定理得出各線段長是解題關鍵．