Question

5．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對角線AC=10，邊OA=6．
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）把矩形OABC沿直線DE對折使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，直線DE與OC、AC、AB的交點(diǎn)分別為D，F(xiàn)，E，求折痕DE的長；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M在x軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使四邊形FDMN是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由四邊形AOCB為矩形，得到∠AOC為直角，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出OC的長，即可確定出C的坐標(biāo)；
（2）連接AD，如圖1所示，由折疊的性質(zhì)設(shè)AD=DC=x，由OC-CD表示出OD，在直角三角形AOD中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AD的長，由中心對稱性質(zhì)得到F為ED中點(diǎn)，在直角三角形ADF中，利用勾股定理求出DF的長，即可求出DE的長；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M在x軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使四邊形FDMN是菱形，如圖2所示，分兩種情況考慮：當(dāng)M與N在直線DE右邊時；當(dāng)M′與N′在直線DE左邊時，分別利用菱形的四條邊相等求出M的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵四邊形AOCB為矩形，
∴∠AOC=90°，
在Rt△AOC中，AC=10，OA=6，
根據(jù)勾股定理得：OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=8，
則C（8，0）；
（2）連接AD，如圖1所示，
由折疊的性質(zhì)設(shè)AD=DC=x，則OD=OC-CD=8-x，
在Rt△AOD中，OA=6，AD=x，OD=8-x，
根據(jù)勾股定理得：AD²=OA²+OD²，即x²=6²+（8-x）²，
解得：x=$\frac{25}{4}$，
∴AD=$\frac{25}{4}$，OD=$\frac{7}{4}$，
由中心對稱性質(zhì)得到E關(guān)于D對稱，即EF=CF=$\frac{1}{2}$DE，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{4}）^{2}-{5}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
則DE=2DF=$\frac{15}{2}$；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M在x軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使四邊形FDMN是菱形，
如圖2所示，分兩種情況考慮：
當(dāng)M與N在直線DE右邊時，
∵四邊形FDMN是菱形，DF=$\frac{15}{4}$，
∴DM=DF=$\frac{15}{4}$，
∴OM=OD+DM=$\frac{7}{4}$+$\frac{15}{4}$=$\frac{11}{2}$，即M（$\frac{11}{2}$，0）；
當(dāng)M′與N′在直線DE左邊時，
同理得到DM′=DF=$\frac{15}{4}$，
∴OM′=DM′-OD=2，此時M（-2，0），
綜上，使四邊形FDMN是菱形時M的坐標(biāo)為（$\frac{11}{2}$，0）或（-2，0）．

點(diǎn)評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：折疊的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，利用了分類討論的思想，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．