Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點O在AB上，⊙O經(jīng)過點A，且與BC相切于點D
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若BD=5，CD=3，求AD的長．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：

分析：（1）連接OD，由BC為圓O的切線，得到OD垂直于BC，再由AC垂直于BC，得到OD與AC平行，利用兩直線平行得到一對內(nèi)錯角相等，再由OA=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到AD為角平分線；
（2）作ED⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質求得DE=DC=3，在直角三角形BDE中，利用勾股定理求出BE的長，然后證得△ABC∽△DBE，求得AB=10，進而得出AE=6，然后再根據(jù)勾股定理即可求得AD的長．

解答： （1）證明：如圖，連接OD，
∵BC為圓O的切線，
∴OD⊥CB，
∵AC⊥CB，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠OAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：作ED⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DC=3，
在Rt△BDE中，BD=5，DE=3，
根據(jù)勾股定理得：BE=4，
∵∠ABC=∠DBE，∠C=∠BED=90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴

AB

BD

=

BC

BE

，即

AB

5

=

5+3

4

，
∴AB=10，
∴AE=AB-BE=10-4=6，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=

62+32

=3

5

．

點評：此題考查了切線的性質，平行線的判定和性質，相似三角形的判定與性質，以及勾股定理，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵