Question

8．如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、E（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，3）
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D，求四邊形AEDB的面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在第一象限的拋物線上運(yùn)動時(shí)，（2）中四邊形AEDB的面積是否最大？若是，請說明理由；若不是，請求出四邊形AEDB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出a值即可；
（2）連接OD，將拋物線解析式變形為頂點(diǎn)式即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用三角形的面積結(jié)合S_{四邊形AEDB}=S_△AOB+S_△OBO+S_△OED即可得出結(jié)論；
（3）連接BE，過點(diǎn)D作DF⊥x軸交BE于點(diǎn)F，由點(diǎn)B、E的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BE的解析式，設(shè)D的坐標(biāo)為（a，-a²+2a+3）（0＜a＜3），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，-a+3），從而找出DF的長度，再根據(jù)三角形的面積結(jié)合S_{四邊形AEDB}=S_△BDE+S_△AEB即可得出S_{四邊形AEDB}=-$\frac{3}{2}$$（a-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{75}{8}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
將B（0，3）代入y=a（x+1）（x-3），
3=-3a，解得：a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．

（2）連接OD，如圖1所示．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴點(diǎn)D（1，4），
∴S_{四邊形AEDB}=S_△AOB+S_△OBO+S_△OED=$\frac{1}{2}$×（1×3+3×1+3×4）=9．

（3）連接BE，過點(diǎn)D作DF⊥x軸交BE于點(diǎn)F，如圖2所示．
設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b，
將B（0，3）、E（3，0）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BE的解析式為y=-x+3．
設(shè)D的坐標(biāo)為（a，-a²+2a+3）（0＜a＜3），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，-a+3），
∴DF=-a²+2a+3-（-a+3）=-a²+3a=-$（a-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{4}$，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}$OE•DF=-$\frac{3}{2}$$（a-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{27}{8}$．
∴S_{四邊形AEDB}=S_△BDE+S_△AEB=-$\frac{3}{2}$$（a-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{27}{8}$+6=-$\frac{3}{2}$$（a-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{75}{8}$．
∴當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_{四邊形AEDB}=取最大值，最大值為$\frac{75}{8}$．
故當(dāng)點(diǎn)D在第一象限的拋物線上運(yùn)動時(shí)，（2）中四邊形AEDB的面積不是最大，四邊形AEDB面積的最大值為$\frac{75}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的最值、待定系數(shù)法求一次（二次）函數(shù)解析式以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用三角形的面積結(jié)合S_{四邊形AEDB}=S_△AOB+S_△OBO+S_△OED求出四邊形AEDB的面積；（3）找出S_{四邊形AEDB}=-$\frac{3}{2}$$（a-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{75}{8}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．