Question

8．如圖，一個三角形的紙片ABC，其中∠A=∠C．
（1）把△ABC紙片按（如圖1）所示折疊，使點A落在BC邊上的點F處，DE是折痕，說明BC∥DF；
（2）把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCED內時 （如圖2），探索∠C與∠1+∠2之間的大小關系，并說明理由；
（3）當點A落在四邊形BCED外時（如圖3），∠C與∠1、∠2的關系是2∠C=∠2-∠1．（直接寫出結論）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質得∠DFE=∠A，由已知得∠A=∠C，于是得到∠DFE=∠C，即可得到結論；
（2）先根據(jù)四邊形的內角和等于360°得出∠A+∠A′=∠1+∠2，再由圖形翻折變換的性質即可得出結論；
（3）∠A′ED=∠AED（設為α），∠A′DE=∠ADE（設為β），于是得到∠2+2α=180°，∠1=β-∠BDE=β-（∠A+α），推出∠2-∠1=180°-（α+β）+∠A，根據(jù)三角形的內角和得到∠A=180°-（α+β），證得∠2-∠1=2∠A，于是得到結論．

解答 解：（1）根據(jù)折疊的性質得：∠DFE=∠A，
∵∠A=∠C，
∴∠DFE=∠C，
∴BC∥DF；

（2）2∠C=∠1+∠2，
理由：∵四邊形的內角和等于360°，
∴∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°．
又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′=360°，
∴∠A+∠A′=∠1+∠2．
又∵∠A=∠A′，
∴2∠A=∠1+∠2，
∵∠A=∠C，
∴2∠C=∠1+∠2；

（3）∠2-∠1=2∠C，
證明如下：由題意得：∠A′ED=∠AED（設為α），∠A′DE=∠ADE（設為β）；
∵∠2+2α=180°，∠1=β-∠BDE
=β-（∠A+α），
∴∠2-∠1
=180°-（α+β）+∠A；
∵∠A=180°-（α+β），
∴∠2-∠1=2∠A，
∵∠A=∠C，
∴2∠C=∠2-∠1．
故答案為：2∠C=∠2-∠1．

點評 本題考查了翻折變換的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，三角形的內角和等于180°，綜合題，但難度不大，熟記性質準確識圖是解題的關鍵．