Question

10．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+mx+n+1=0的一根為2．
（1）用m的代數(shù)式表示n；
（2）求證：關(guān)于y的一元二次方程y²+my+n=0總有兩個不相等的實數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）把x=2，代入原方程就可求出m、n的關(guān)系式；
（2）利用根的判別式△=b²-4ac，可求具體數(shù)值，利用數(shù)值來說明方程總有兩個不相等的實數(shù)根．

解答 解：（1）把x=2，代入方程x²+mx+n+1=0得
4+2m+n+1=0，
則n=-2m-5；
（2）∵△=b²-4ac=m²-4×1×n=m²-4（-2m-5）=m²+8m+20=（m+4）²+4＞0，
∴關(guān)于y的一元二次方程y²+my+n=0總有兩個不相等的實數(shù)根．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的解的意義．