Question

5．如圖，已知⊙O的半徑為R，直徑AB⊥直徑CD，以B為圓心，以BD為半徑作⊙B交AB于E，交AB的延長線于F，連接DB并延長交⊙O于M，連接MA交⊙O于N，交CD于H，交⊙B于G．
（1）求圖中陰影部分的面積S；
（2）求證：HA•HN=HG•HM．

Answer 1

分析 （1）連接BC，由直徑AB⊥直徑CD，得到∠DBC=90°，于是得到BD=$\sqrt{2}$R，求出S_弓形DEC=S_扇形BDC-S_△BDC=$\frac{90•π•（\sqrt{2}R）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}R•\sqrt{2}R$=$\frac{π}{2}{R}^{2}$-R²，于是求得S_陰影=S_半圓-S_弓形DEC=$\frac{1}{2}π{R}^{2}$-（$\frac{π}{2}{R}^{2}$-R²）=R²；
（2）根據(jù)相交弦定理和等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接BC，
∵直徑AB⊥直徑CD，
∴∠DBC=90°，
∵OB=R，
∴BD=$\sqrt{2}$R，
∴S_弓形DEC=S_扇形BDC-S_△BDC=$\frac{90•π•（\sqrt{2}R）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}R•\sqrt{2}R$=$\frac{π}{2}{R}^{2}$-R²，
∴S_陰影=S_半圓-S_弓形DEC=$\frac{1}{2}π{R}^{2}$-（$\frac{π}{2}{R}^{2}$-R²）=R²；

（2）在⊙O中，由相交弦定理得：AH•HN=CH•DH，
在⊙B中，由相交弦定理得：CH•DH=GH•HM，
∴AH•HN=GH•HM．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，相交弦定理，扇形的面積，等腰直角三角形的面積，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．