Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B．點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0），將線段BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并延長一倍得CD，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，求出CF，DF的長；
（2）當(dāng)0＜m＜6時(shí)，
①求DE的長（用含m的代數(shù)式表示）；
②請(qǐng)?jiān)谥本�AB上找點(diǎn)P，使得以C，D，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連結(jié)BD，在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△COQ與△BDE相似？若存在，直接寫出m的值和相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由在y=x+2中，令x=0得y=2，y=0得x=-2，得到OA=2，OB=2，△AOB是等腰直角三角形，再有DF⊥OC，得到△BOC∽△CFD，得比例式求解；
（2）由（1）知△BOC∽△CFD，再根據(jù)題意得：EF∥OB，于是得到△AFE是等腰直角三角形，根據(jù)AF=EF，求得DE，由四邊形CDEP是平行四邊形，得到PC∥DE，CD∥PE，求得∠DCF=∠EAF=45°，∠OCB=45°，得到OC=OB=2，求出m=2，得到結(jié)果；
（3）由△COQ與△BDE相似知，△BDE為直角三角形，得到∠BDE=90°，再由三角形相似求得結(jié)果．

解答 解：如圖1，在y=x+2中，令x=0得y=2，y=0得x=-2，
∴A（-2，0）B（0，2），即OA=2，OB=2，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
（1）∵m=3，
∴OC=3，
∵∠BCD=90°，DF⊥OC，
得到△BOC∽△CFD，
∴$\frac{BC}{CD}$=$\frac{OC}{DF}$=$\frac{OB}{CF}$，
∵CD=2BC，
∴$\frac{3}{DF}$=$\frac{2}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=4，DF=6；

（2）如圖1①∵OC=m，
由（1）知△BOC∽△CFD，
∴$\frac{m}{DF}$=$\frac{2}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
根據(jù)題意得：EF∥OB，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴AF=EF，∴EF=m+6，
∴DE=6-m；
②第一種情況：如圖2∵四邊形PCDE是平行四邊形，
∴PC∥DE，CD∥PE，
∴∠DCF=∠EAF=45°，
∴∠OCB=45°，
∴OC=OB=2，∴m=2，
∵點(diǎn)P在直線AB上，
∴P（2，4），
第二種情況：如圖3，過點(diǎn)P作PH⊥AF于H，
當(dāng)CE∥PD，CD∥PE，
∴∠DCF=45°=∠BCO，
∴m=2，CF=DF=4，EF=8，
∵PH=AH=12，
∴OH=10，
∴P（10，12）；

（3）如圖4，∵△COQ與△BDE相似，
則△BDE為直角三角形，必有∠BDE=90°，
∴BD∥OF，
∴DF=OB=2，
∴OC=1，
∴m=1，
∵△BDE∽△COQ，
∴OQ=OC=1，
∵點(diǎn)Q在y軸上，
∴Q（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)，等腰直角三角形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（3）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．