Question

13．已知等腰Rt△ABC，以BC為邊作?BCEH，連AE，以AE為斜邊再作等腰Rt△ADE，連DC，HC．
（1）如圖1，當四邊形BCEH為矩形時，CH與CD之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明；
（2）如圖2，當四邊形BCEH為?BCEH時，試探究CH與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，若DC與AE交于P點，與AB交于Q點，當圖形變換過程中，△AEC是否可以為等邊三角形，若可以，則$\frac{DP}{PQ}$=2+$\sqrt{3}$（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：CH=$\sqrt{2}$CD．如圖1中，作DM⊥AC于M，DN⊥EH于N．首先證明△CMD≌△HND，推出△DCH是等腰直角三角形即可解決問題；
（2）結(jié)論：CH=$\sqrt{2}$CD．如圖1中，作DM⊥AC于M，DN⊥EH于N．首先證明△ADM≌△EDN，再證明△CMD≌△HND，推出△DCH是等腰直角三角形即可解決問題；
（3）如圖3中，△ACE可以為等邊三角形．由CA=CE，DA=DE，推出CD垂直平分AE，∠ACP=∠ECP=30°，推出DP=AP=PE，設(shè)DP=AP=PE=a，則AC=CE=AE=2a，CP=$\sqrt{3}$a，作QM⊥AC于M．設(shè)AM=QM=x，則CM=$\sqrt{3}$MQ=$\sqrt{3}$x，CQ=2x，求出CQ，PQ（用a表示），即可解決問題；

解答 解：（1）結(jié)論：CH=$\sqrt{2}$CD．
理由：如圖1中，作DM⊥AC于M，DN⊥EH于N．

∵四邊形BCEH是矩形，
∴EH=BC，∠CEH=∠MEN=∠DME=∠DNE=90°，
∴四邊形DMEN是矩形，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴DM=ME=AM，
∴四邊形DMEN是正方形，
∴DN=DM=EM=AM，
∵AC=BC=EH，
∴CM=HN，∵∠CMD=∠DNH=90°，
∴△CMD≌△HND，
∴CD=DH，∠CDM=∠HDN，
∴∠MDN=∠CDH=90°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴CH=$\sqrt{2}$CD．

（2）如圖2中，結(jié)論：CH=$\sqrt{2}$CD．
理由：如圖1中，作DM⊥AC于M，DN⊥EH于N．

∵∠ADE=∠MDN=90°，
∴∠ADM=∠EDN，
∵AD=DE，∠AMD=∠DNE=90°，
∴△ADM≌△EDN，
∴DM=DN，AM=EN，
∵AC=BC=EH，
∴CM=HN，∵∠CMD=∠DNH=90°，
∴△CMD≌△HND，
∴CD=DH，∠CDM=∠HDN，
∴∠MDN=∠CDH=90°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴CH=$\sqrt{2}$CD．

（3）如圖3中，△ACE可以為等邊三角形．

∵CA=CE，DA=DE，
∴CD垂直平分AE，∠ACP=∠ECP=30°，
∴DP=AP=PE，設(shè)DP=AP=PE=a，則AC=CE=AE=2a，CP=$\sqrt{3}$a，
作QM⊥AC于M．設(shè)AM=QM=x，則CM=$\sqrt{3}$MQ=$\sqrt{3}$x，CQ=2x，
∴x+$\sqrt{3}$x=2a，
∴x=（$\sqrt{3}$-1）a，
∴CQ=（2$\sqrt{3}$-2）a，
∴PQ=PC-CQ=$\sqrt{3}$a-（2$\sqrt{3}$-2）a=（2-$\sqrt{3}$）a，
∴$\frac{DP}{QP}$=$\frac{a}{（2-\sqrt{3}）a}$=2+$\sqrt{3}$．
故答案為2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．