Question

18．某校組織數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，愛(ài)好思考的小聰在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”，如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AF、BE是△ABC的中線，AF⊥BE于點(diǎn)P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．
[特例探究]
（1）如圖1，當(dāng)tan∠PAB=1，c=4$\sqrt{2}$時(shí)，a=4$\sqrt{5}$，b=4$\sqrt{4}$；
如圖2，當(dāng)∠PBA=30°，c=2時(shí)，a=$\sqrt{13}$，b=$\sqrt{7}$；
（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)a²、b²、c²三者之間有關(guān)系如下：a²+b²=5c²，請(qǐng)利用圖3證明你的結(jié)論．
[拓展證明]
（3）如圖4，?ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點(diǎn)G，AD=3$\sqrt{5}$，AB=3，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得到AP=BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，得到EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，再由勾股定理得到結(jié)果；
（2）連接EF，設(shè)∠ABP=α，類比著（1）即可證得結(jié)論；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BG=EG，AG=GF，得到BG是△ABF的中線，取AB的中點(diǎn)H，連接FH，并延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P，推出四邊形CSPF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到FP∥CE，得到△ABF是中垂三角形，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=45°，
∴AP=BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4，
∵AF，BE是△ABC的中線，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∴∠PFE=∠PEF=45°，
∴PE=PF=2，
在Rt△FPB和Rt△PEA中，
AE=BF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AC=BC=4$\sqrt{5}$，
∴a=b=4$\sqrt{5}$，
如圖2，連接EF，
同理可得：EF=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵EF∥AB，
∴△PEF～△ABP，
∴$\frac{FP}{AP}$=$\frac{PE}{PB}$，
在Rt△ABP中，
AB=2，∠ABP=30°，
∴AP=1，PB=$\sqrt{3}$，
∴PF=$\frac{1}{2}$，PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△APE和Rt△BPF中，
AE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，BF=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴a=$\sqrt{13}$，b=$\sqrt{7}$，
故答案為：4$\sqrt{5}$，4$\sqrt{5}$，$\sqrt{13}$，$\sqrt{7}$；

（2）猜想：a ²，b²，c²三者之間的關(guān)系是：a²+b²=5c²，
證明：如圖3，連接EF，∵AF，BE是△ABC的中線，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥AB．且 EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$c．
∴$\frac{PE}{PB}$=$\frac{PF}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè) PF=m，PE=n 則AP=2m，PB=2n，
在Rt△APB中，（2m）²+（2n）²=c²①
在Rt△APE中，（2m）²+n²=（$\frac{2}$）²  ②
在Rt△BPF中，m²+（2n）²=（$\frac{a}{2}$）²  ③
由①得：m²+n²=$\frac{{c}^{2}}{4}$，由②+③得：5（ m²+n²）=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{4}$，
∴a ²+b²=5 c²；

（3）在△AGE與△FGB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AGE=∠FGB}\\{∠AEG=∠FBG}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=EG，AG=GF，
∴BG是△ABF的中線，
取AB的中點(diǎn)H，連接FH，并延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于P，
同理，△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=CF=2BF，
∴PE∥CF，PE=CF，
∴四邊形CSPF是平行四邊形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由（2）知，AB²+AF²=5BF²，
∵AB=3，
∴BF=$\frac{1}{3}$AD=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形的中位線，表示出線段是解本題的關(guān)鍵．