Question

7．如圖，四邊形OABC是邊長為4的正方形，點P為OA邊上任意一點（與點O、A不重合），連接CP，過點P作PM⊥CP交AB于點D，且PM=CP，過點M作MN∥OA，交BO于點N，連接ND、BM，設OP=t．
（1）求點M的坐標（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）試判斷線段MN的長度是否隨點P的位置的變化而改變？并說明理由．
（3）當t為何值時，四邊形BNDM的面積最�。�

Answer 1

分析 （1）作ME⊥x軸于E，則∠MEP=90°，先證出∠PME=∠CPO，再證明△MPE≌△PCO，得出ME=PO=t，EP=OC=4，求出OE，即可得出點M的坐標；
（2）連接AM，先證明四邊形AEMF是正方形，得出∠MAE=45°=∠BOA，AM∥OB，證出四邊形OAMN是平行四邊形，即可得出MN=OA=4；
（3）先證明△PAD∽△PEM，得出比例式$\frac{AD}{ME}=\frac{AP}{EP}$，得出AD，求出BD，求出四邊形BNDM的面積S是關于t的二次函數(shù)，即可得出結果．

解答 解：（1）作ME⊥x軸于E，如圖1所示：
則∠MEP=90°，ME∥AB，
∴∠MPE+∠PME=90°，
∵四邊形OABC是正方形，
∴∠POC=90°，OA=OC=AB=BC=4，∠BOA=45°，
∵PM⊥CP，
∴∠CPM=90°，
∴∠MPE+∠CPO=90°，
∴∠PME=∠CPO，
在△MPE和△PCO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MEP=∠POC=90°}&{\;}\\{∠PME=∠CPO}&{\;}\\{PM=CP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MPE≌△PCO（AAS），
∴ME=PO=t，EP=OC=4，
∴OE=t+4，
∴點M的坐標為：（t+4，t）；
（2）線段MN的長度不發(fā)生改變；理由如下：
連接AM，如圖2所示：
∵MN∥OA，ME∥AB，∠MEA=90°，
∴四邊形AEMF是矩形，
又∵EP=OC=OA，
∴AE=PO=t=ME，
∴四邊形AEMF是正方形，
∴∠MAE=45°=∠BOA，
∴AM∥OB，
∴四邊形OAMN是平行四邊形，
∴MN=OA=4；
（3）∵ME∥AB，
∴△PAD∽△PEM，
∴$\frac{AD}{ME}=\frac{AP}{EP}$，
即$\frac{AD}{t}=\frac{4-t}{4}$，
∴AD=-$\frac{1}{4}$t²+t，
∴BD=AB-AD=4-（-$\frac{1}{4}$t²+t）=$\frac{1}{4}$t²-t+4，
∵MN∥OA，AB⊥OA，
∴MN⊥AB，
∴四邊形BNDM的面積S=$\frac{1}{2}$MN•BD=$\frac{1}{2}$×4（$\frac{1}{4}$t²-t+4）=$\frac{1}{2}$（t-2）²+6，
∴S是t的二次函數(shù)，
∵$\frac{1}{2}$＞0，
∴S有最小值，
當t=2時，S的值最小；
∴當t=2時，四邊形BNDM的面積最�。�

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質與判定、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、四邊形面積的計算以及二次函數(shù)的最值等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）（3）中，需要證明四邊形是正方形、平行四邊形、三角形相似以及運用二次函數(shù)才能得出結果．