Question

16．五邊形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且滿(mǎn)足以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓弧AC與邊DE相切于點(diǎn)F，連接BE，BD．
（1）如圖1，求∠EBD的度數(shù)；
（2）如圖2，連接AC，分別與BE，BD相交于點(diǎn)G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG•HC的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接BF，由DE與⊙B相切于點(diǎn)F，得到BF⊥DE，通過(guò)R_t△BAE≌R_t△BFE，得到∠1=∠2，同理∠3=∠4，于是結(jié)論可得；
（2）如圖2，連接BF并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于P，由△ABE≌△CBP，得到PB=BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求出PF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$，通過(guò)△AEG∽△CHD，列比例式即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）如圖1，連接BF，
∵DE與⊙B相切于點(diǎn)F，
∴BF⊥DE，
在R_t△BAE與R_t△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=BF}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴R_t△BAE≌R_t△BFE，
∴∠1=∠2，
同理∠3=∠4，
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=45°，
即∠EBD=45°；

（2）如圖2，連接BF并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于P，
∵∠4=15°，
由（1）知，∠3=∠4=15°，
∴∠1=∠2=30°，∠CBP=30°，
∵∠EAB=∠PCB=90°，AB=1，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在△ABE與△CBP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠CBP}\\{AB=BC}\\{∠BAE=∠BCP}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBP，
∴PB=BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴PF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$，
∵∠P=60°，
∴DF=2-$\sqrt{3}$，
∴CD=DF=2-$\sqrt{3}$，
∵∠EAG=∠DCH=45°，
∠AGE=∠BDC=75°，
∴△AEG∽△CHD，
∴$\frac{AG}{CD}=\frac{AE}{CH}$，
∴AG•CH=CD•AE，
∴AG•CH=CD•AE=（2-$\sqrt{3}$）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，畫(huà)出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．