Question

7．如圖，二次函數(shù)y=x²+bx的圖象經(jīng)過點A（-1，4）和點B（2，m）．
（1）填空：b=-3；m=-2；
（2）過點A作AC∥x軸，交拋物線于點C，點P是線段OC上的動點（與O、C不重合）．
①若以O(shè)、B、C為頂點的三角形和以O(shè)、B、P為頂點的三角形相似，求它們的相似比；
②設(shè)點F是BC的中點，當(dāng)OP為何值時，將△BPF沿邊PF翻折，使△BPF與△CPF重疊部分的面積是△BCP的面積的$\frac{1}{4}$？

Answer 1

分析 （1）直接將A點代入求出b的值，再將B點代入求出m的值；
（2）①若以O(shè)、B、C為頂點的三角形和以O(shè)、B、P為頂點的三角形相似，只能是△OBC∽△OCP，進而求出相似比；
②1）分別利用若翻折后，點B′落在BC的右側(cè)，2）若翻折后，點B′落在BC上，則點B，D重合，3）若翻折后，點B落在OC的左側(cè)，分別得出答案．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx的圖象經(jīng)過點A（-1，4）和點B（2，m），
∴4=（-1）²-b，
解得：b=-3，
則m=2²-3×2=-2，
故答案為：-3，-2；

（2）過點A作AC∥x軸，交拋物線于點C，
即4=x²-3x，
解得：x₁=-1，x₂=4，
可得C（4，4），又∵B（2，-2），
∴∠COB=90°，
①若以O(shè)、B、C為頂點的三角形和以O(shè)、B、P為頂點的三角形相似，
只能是△OBC∽△OCP，
∴△OBC與△OPB的相似比為：OC：OB=2：1；    
②由①知CO=4$\sqrt{2}$，BO=2$\sqrt{2}$，BF=FC=$\sqrt{10}$．
1）若翻折后，點B′落在BC的右側(cè)，BC與PB′的交點為M，如圖1．
S_△MFP=$\frac{1}{4}$S_△BCP=$\frac{1}{2}$S_△CPF=$\frac{1}{2}$S_△B′PF，
∴M為FC、PB′的中點
∴四邊形B′FPC為平行四邊形，
∴PC=$\sqrt{10}$，PO=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{10}$，
2）若翻折后，點B′落在BC上，則點B，D重合，
S_△MFP=$\frac{1}{2}$S_△BCP，不合題意，舍去．   
3）若翻折后，點B落在OC的左側(cè)，
OC與FB′的交點為N，如圖2，
S_△NPF=$\frac{1}{4}$S_△BCP=$\frac{1}{2}$S_△BPF=$\frac{1}{2}$S_△CPF=$\frac{1}{2}$S_△B′PF，
∴N為PC、FB′的中點，
∴四邊形B′PFC為平行四邊形，
B′P=FC=$\sqrt{10}$，∴BP=B′P=$\sqrt{10}$，
在直角三角形OPB中，
OP²+OB²=BP²，
解得：PO=$\sqrt{2}$，
綜上所述，PO=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{10}$或PO=$\sqrt{2}$．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，正確利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出答案是解題關(guān)鍵．