Question

12．如圖，在菱形ABCD中，AC=AB，P是AB邊上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合），PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q，DQ的延長線交PC于點(diǎn)E，AE的延長線交BC于點(diǎn)F，連接FQ，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． FQ∥AB
• B． AQ=BF
• C． ∠PEF=120°
• D． DE不是∠AEC的平分線

Answer 1

分析 由菱形的性質(zhì)和已知條件證明△ABC是等邊三角形，得出∠B=∠ACB=∠BAC=60°，再證明△APQ是等邊三角形，得出AP=AQ=PQ，由SAS證明△AQD≌△APC，得出∠AQD=∠APC，得出A、P、E、Q四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠AEQ=∠APQ=60°，∠AEP=∠AQP=60°，得出∠QEC=60°，得出D錯(cuò)誤；
證明E、F、C、Q四點(diǎn)共圓，得出∠CFQ=∠CEQ=60°，得出∠CFQ=∠B，證出FQ∥AB，A正確；
證明四邊形BFQP是平行四邊形，得出PQ=BF，得出B正確；由∠AEP=60°，得出∠PEF=120°，C正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵AC=AB，
∴AB=BC=AC=AD，即△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠DAQ=∠BAC=60°，
∵PQ∥BC，
∴∠APQ=∠B=60°，∠AQP=∠ACB=60°，
∴∠APQ=∠AQP=∠BAC，
∴△APQ是等邊三角形，
∴AP=AQ=PQ，
在△AQD和△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}&{\;}\\{∠DAQ=∠CAP}&{\;}\\{AQ=AP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AQD≌△APC（SAS），
∴∠AQD=∠APC，
∴A、P、E、Q四點(diǎn)共圓，
∴∠AEQ=∠APQ=60°，∠AEP=∠AQP=60°，
∴∠QEC=60°，
∴∠AEQ=∠CEQ=60°，
∴DE是∠AEC的平分線，D錯(cuò)誤；
∵∠AEQ=∠ACB，
∴E、F、C、Q四點(diǎn)共圓，
∴∠CFQ=∠CEQ=60°，
∴∠CFQ=∠B，
∴FQ∥AB，A正確；
∵PQ∥BC，F(xiàn)Q∥AB，
∴四邊形BFQP是平行四邊形，
∴PQ=BF，
∴AQ=BF，B正確；
∵∠AEP=60°，
∴∠PEF=120°，C正確；
錯(cuò)誤的結(jié)論是D．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，需要兩次證明四點(diǎn)共圓才能得出結(jié)論．