Question

2．我們將使得函數(shù)值為零的自變量的值稱為函數(shù)的零點(diǎn)值，此時(shí)的點(diǎn)稱為函數(shù)的零點(diǎn)．例如，對(duì)于函數(shù)y=x-1，令y=0，可得x=1，我們就說(shuō)1是函數(shù)y=x-1的零點(diǎn)值，點(diǎn)（1，0）是函數(shù)y=x-1的零點(diǎn)．已知二次函數(shù)y=kx²-（4k+1）x+3k+3．
（1）若函數(shù)有兩個(gè)不重合的零點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍；
（2）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都是整數(shù)點(diǎn)，求整數(shù)k的值；
（3）當(dāng)k＜0時(shí)，在（2）的條件下，函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別是點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn)A，B間的部分（含點(diǎn)A和點(diǎn)B）向左平移n（n＞0）個(gè)單位后得到的圖象記為G，同時(shí)將直線y=-4kx+3向上平移n個(gè)單位．請(qǐng)結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線與圖象G有公共點(diǎn)時(shí)，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接求出△的值，進(jìn)而得出k的取值范圍；
（2）令y=0，直接解方程得出符合題意的k的值；
（3）首先求出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出A′，B′點(diǎn)坐標(biāo)，再表示出平移后解析式，進(jìn)而得出n的取值范圍．

解答 （1）證明：△=（4k+1）²-4k（3k+3）=（2k-1）²，
∵二次函數(shù)有兩個(gè)不重合的零點(diǎn)，
∴2k-1≠0，即k≠$\frac{1}{2}$，
∵k≠0，
∴當(dāng)k≠0且k≠$\frac{1}{2}$時(shí)，二次函數(shù)有兩個(gè)不重合的零點(diǎn)；

（2）解：當(dāng)y=0，則0=kx²-（4k+1）x+3k+3，
解方程得：x=$\frac{（4k+1）±\sqrt{（2k-1）^{2}}}{2k}$，
∴x=3或x=1+$\frac{1}{k}$，
∵函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都是整數(shù)，k是整數(shù)，
∴$\frac{1}{k}$是整數(shù)．
∴k=±1；

（3）解：∵k＜0，
∴k=-1．
∴y=-x²+3x，y=4x+3．
∵函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別是A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），
∴A（0，0），B（3，0）．
∴平移后的點(diǎn)為：A′（-n，0），B′（3-n，0）．
平移后的解析式為：y=4x+3+n．
∴-4n+3+n=0，
解得：n=1，
4（3-n）+3+n=0，
解得：n=5，
∴1≤n≤5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，根的判別式等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．