Question

17．如圖，在?ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm，點P由C出發(fā)沿CA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由AB出發(fā)沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s，交AC于Q，連接PE、PF，若運動時間為t（s）（0＜t＜2.5）．解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時，PE∥CD？
（2）試判斷△PEF形狀，并說明理由；
（3）請求五邊形ABEFPE的面積；
（4）求△PFC的面積s與t的函數(shù)關(guān)系式：并確定當(dāng)t為何值時，s有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）首先用t表示出AE、CP、AP的長，若PE∥CD，那么△APE∽△ACD，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得此時t的值．
（2）由于AD=AC，且QE∥CD，所以△AQE也是等腰三角形，即AQ=AE，由P、Q的速度可知：CP=AE=AQ，進(jìn)而可求得CQ=AP，同理可證得△CFQ也是等腰三角形，即CF=CQ，由此得CF=AP，已求得AE=PC，而∠DAC=∠FCP，由此可證得△FCP≌△PAE，即可證得PF=PE，即△PEF是等腰三角形．
（3）由（2）的全等三角形知：△AEP、△EPC的面積相等，因此五邊形的面積可轉(zhuǎn)化為△ABC的面積，所以五邊形的面積是個定值；
（4）由（1）的相似三角形，易求得QE的表達(dá)式，分別過C、P作AB、EF的垂線CG、PH，交AB于G，交EF于H，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，易求得AG、BG的值，進(jìn)而可求得∠ACG（即∠EPH）的余弦值，即可根據(jù)PQ的長表示出QE邊上的高PH的值，由三角形的面積公式，可得關(guān)于△PQE的面積和t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到△PQE的最大面積，從而求得其面積的取值范圍．

解答 解：（1）由題意知AE=BF=CP=t，AP=5-t，
在?ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，
當(dāng)PE∥CD時，△APE∽△ACD，
∴$\frac{t}{5}=\frac{5-t}{5}$，
∴t=2.5；

（2）是等腰三角形，
∵在?ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，
∴∠CAB=∠CBA，
∵AB∥EF，∴∠CQF=∠CAB，∠CFQ=∠CBA，
∴∠CFQ=∠CQF，
∴CF=CQ，
∴AQ=BF=AE，
∴AP=CQ=CF，
∵AD∥BC，
∴∠PAE=∠FCP，
∴△PAE≌△FCP（SAS），
∴PE=PF；

（3））由（2）的全等三角形知：S_△AEP=S_△PCF，即S_{五邊形BFPEA}=S_△ABC；
過C作CG⊥AB于G，
等腰△ACB中，AG=BG=3，AC=BC=5，則CG=4，
∴S_{五邊形BFPEA}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×4=12；

（4）∵QE∥AB∥CD，
∴△AQE∽△ACD，
∴$\frac{QE}{CD}=\frac{AE}{AD}$，即$\frac{QE}{6}$=$\frac{t}{5}$，QE=$\frac{6t}{5}$，
S_△ACD=S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•CG=$\frac{1}{2}×6×4$=12，
∴S_△AQE=${（\frac{AE}{AD}）}^{2}{•S}_{△ACD}$=$\frac{{t}^{2}}{25}$×12=$\frac{12}{25}$t²
過P作PH⊥EF于H，由（3）易得：cos∠APH=cos∠ACG=$\frac{4}{5}$，
故PH=$\frac{4}{5}$PQ=$\frac{4}{5}$（5-2t）；
設(shè)△PEQ的面積為y，則y=$\frac{1}{2}$$•\frac{6}{5}t•\frac{4}{5}（5-2t）$=$-\frac{24}{25}{t}^{2}+\frac{12}{5}t$，
∴S_△PFC=S_△EPA=$\frac{12}{25}$t²+（$-\frac{24}{25}$t²$+\frac{12}{5}$t）=$-\frac{12}{25}$t²$+\frac{12}{5}$t=$-\frac{12}{25}$${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$$+\frac{3}{25}$
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，S_△PFC最大=$\frac{3}{25}$，
∴0＜S_△PFC≤$\frac{3}{25}$．

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)最值，數(shù)形結(jié)合，利用二次函數(shù)求最值是解答此題的關(guān)鍵．