Question

2．問(wèn)題背景：以一個(gè)等腰△ABC的兩腰為邊長(zhǎng)，分別向兩旁作等邊△ABD和等邊△ACE，以底邊為邊長(zhǎng)向上作
等邊△PBC（如圖1），在順次連結(jié)A、D、F、E四點(diǎn)后，發(fā)現(xiàn)四邊形ADFE是一個(gè)特殊的四邊形．
任務(wù)要求：

（1）試判斷四邊形ADFE的形狀，并證明；
（2）將△ABC的形狀改為任意一個(gè)三角形，在采用上述相同的做法后（如圖2），判斷四邊形ADFE的形狀，并證明！
（3）在得出上述結(jié)論后，進(jìn)一步解答：
①當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADFE是矩形？
②當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADFE是正方形？

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定方法得出△DBF≌△ABC（SAS），進(jìn)而得出答案；
（2）利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定方法得出△DBF≌△ABC（SAS），進(jìn)而得出答案；
（3）①利用矩形的判定方法得出當(dāng)∠BAC=150°時(shí)，四邊形ADFE是矩形；
②利用正方形的判定方法得出當(dāng)∠BAC=150°，AB=AC時(shí)，四邊形ADFE是正方形．

解答 解：（1）四邊形ADFE是菱形，
理由：如圖1，
由△ABD是等邊三角形得BD=AB，∠DBA=60°，
同理BC=BF，∠FBC=60°，
∴∠DBF=∠ABC，
在△DBF和△ABC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠DBF=∠ABC}\\{BF=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△ABC（SAS），
∴DF=AC=AE，同理EF=AB=AD，又AB=AC，
∴DF=EF=AE=AD，所以四邊形ADFE是菱形；

（2）四邊形ADFE是平行四邊形；            
理由：如圖2，
由△ABD是等邊三角形得BD=AB，∠DBA=60°，
同理BC=BF，∠FBC=60°，
∴∠DBF=∠ABC，
在△DBF和△ABC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠DBF=∠ABC}\\{BF=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△ABC（SAS），
∴DF=AC=AE，同理EF=AB=AD，
∴四邊形ADFE是平行四邊形．                

（3）①當(dāng)∠BAC=150°時(shí)，四邊形ADFE是矩形，
理由：∵∠BAC=150°，
∠DAB=∠CAE=60°，∴∠DAE=90°，
又∵四邊形ADFE是平行四邊形，
∴四邊形ADFE是矩形．

②當(dāng)∠BAC=150°且AB=AC時(shí)，四邊形ADFE是正方形．
理由：
當(dāng)∠BAC=150°時(shí)，四邊形ADFE是矩形，
當(dāng)AB=AC時(shí)，四邊形ADFE是菱形，
所以當(dāng)∠BAC=150°且AB=AC時(shí)，四邊形ADFE是正方形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定和正方形的判定等知識(shí)，得出△DBF≌△ABC是解題關(guān)鍵．