Question

15．如圖，∠ABC=∠ACB，BD、CD、BE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，以下結(jié)論：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC=90°；④∠A+2∠BEC=180°；⑤DB平分∠ADC．其中正確的結(jié)論有：①②③④（填序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線(xiàn)的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定、菱形的判定、等邊三角形的判定一一判斷即可．

解答 解：①∵BD、CD分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACP，
∴AD平分△ABC的外角∠FAC，
∴∠FAD=∠DAC，
∵∠FAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠FAD=∠ABC，
∴AD∥BC，故①正確．
②∵BD、BE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠MBC，
∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠MBC=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴EB⊥DB，故②正確，
③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，
∴2（∠BDC+∠CBD）=∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC+2∠ACB=180°，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正確，
④∵∠BEC=180°-$\frac{1}{2}$（∠MBC+∠NCB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠BAC），
∴∠BEC=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正確，
⑤不妨設(shè)BD平分∠ADC，則易證四邊形ABCD是菱形，推出△ABC是等邊三角形，這顯然不可能，故錯(cuò)誤．
故答案為①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，三角形的內(nèi)角和定理，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定等知識(shí)，熟記各性質(zhì)并綜合分析，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．