Question

10．在△ABC中，過點A作AD⊥AB交BC于點D，過點A作AF⊥AC交BC于點F，在AB上取點E，使得AD=AE，過點E作EG⊥AB交AF延長線于點G．
（1）如圖1，當(dāng)∠CAD=30°，AD=2時，求△AEG的面積；
（2）如圖2，當(dāng)AF=AE時，求證：AG+EG=AB．

Answer 1

分析 （1）首先證明∠EAG=∠CAD=30°，在Rt△AEG中，解直角三角形即可解決問題；
（2）以A為圓心AB為半徑作⊙A，延長AG交⊙A于H，連接EH交BC于O．只要證明GE=GH即可解決問題；

解答 解：（1）如圖1中，

∵AD⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAD=∠CAF=90°，
∴∠EAG=∠CAD=30°，
∵EG⊥AB，
∴∠AEG=90°，
∵AD=AE=2，
∴EG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴△AEG的面積=$\frac{1}{2}$AE•EG=$\frac{1}{2}×$2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（2）以A為圓心AB為半徑作⊙A，延長AG交⊙A于H，連接EH交BC于O．

∵AE=AF，∠EAH=∠FAB，AH=AB，
∴△EAH≌△FAB，
∴∠B=∠H，
∵∠BAD=∠CAF=90°，
∴∠BAG=∠CAD，
∵AF=AD=AE，
∴∠AFD=∠ADF，
∴∠B+∠BAF=∠C+∠DAC，
∴∠B=∠C=∠H，
∵∠CFA=∠HFO，
∴∠HOF=∠CAF=90°，
∵EG⊥AB，
∴∠BEG=90°，
∵∠GEH+∠BEH=90°，∠BEH+∠B=90°，
∴∠B=∠GEH=∠H，
∴EG=GH，
∴AG+GE=AG+GH=AH=AB，
∴AG+EG=AB．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、圓的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．