Question

2．如圖，在正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，過點(diǎn)A作AH⊥EF，垂足為H，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，若BE=2，DF=3，則AH的長為6．

Answer 1

分析 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下來再證明∠GAE=∠FAE，由全等三角形的性質(zhì)可知：AB=AH，GE=EF=5．設(shè)正方形的邊長為x，接下來，在Rt△EFC中，依據(jù)勾股定理列方程求解即可．

解答 解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°．
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°．
∴∠BAG+∠BAE=45°．
∴∠GAE=∠FAE．
在△GAE和△FAE中$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△GAE≌△FAE．
∵AB⊥GE，AH⊥EF，
∴AB=AH，GE=EF=5．
設(shè)正方形的邊長為x，則EC=x-2，F(xiàn)C=x-3．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF²=FC²+EC²，即（x-2）²+（x-3）²=25．
解得：x=6．
∴AB=6．
∴AH=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．