Question

10．（1）如圖1，OP是∠MON的平分線，請利用該圖形，借助直尺和圓規(guī)畫一組已OP所在直線為對稱軸且一條邊在OP上的全等三角形，并用符號表示出來；（不寫作法，保留作圖痕跡，不要證明）
（2）請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
①如圖2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，試證明：BC=AC+AD；
②如圖3，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）在OP上任意取一點A，在OM、ON上分別截取OC，OB，使得OC=OB，則有，△AOB≌△AOC；
（2）如圖2，截取CE=CA，連接DE，只要證明△CAD≌△CED，DE=EB即可解決問題；、
（3）截取AE=AD，連接CE，作CH⊥AB，垂足為點H，設EH=HB=x，首先證明△ADC≌△AEC，在Rt△ACH和Rt△CEH中利用勾股定理可得17²-（9+x）²=10²-x²，求出x即可解決問題．

解答 （1）解：如圖1，△AOB≌△AOC．


（2）證明：如圖2，截取CE=CA，連接DE，

∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD與△ECD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=CE}\\{∠ACD=∠ECD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△CED，
∴AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠B=∠EDB=30°，
∴DE=EB=AD，
∴BC=AC+AD；    

（3）解：截取AE=AD，連接CE，作CH⊥AB，垂足為點H，

同理△ADC≌△AEC，
∴AE=AD=9，CD=CE=10=CB，
∵CH⊥AB，CE=CB，
∴EH=HB，
設EH=HB=x，在Rt△ACH和Rt△CEH中
17²-（9+x）²=10²-x²，
解得：x=6，
∴AB=21．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．