Question

5．用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[-3.4]=-4，[3]=3，[π]=3，…
（1）求證：[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]；
（2）解方程：[$\frac{6x+5}{8}$]=$\frac{15x-7}{5}$．

Answer 1

分析 （1）分別從當0≤x-[x]＜$\frac{1}{2}$時與當$\frac{1}{2}$≤x-[x]＜1時，去分析求解即可求得答案；
（2）由題意變形的：0≤$\frac{6x+5}{8}$-$\frac{15x-7}{5}$＜1①；$\frac{15x-7}{5}$=A（A為整數(shù)）②；然后分別將①②，即可得0.9≤$\frac{5A+7}{15}$＜$\frac{121}{90}$，繼而求得A的值，則可求得x的值．

解答 （1）證明：當0≤x-[x]＜$\frac{1}{2}$時，[x+$\frac{1}{2}$]=[x]，[2x]=2[x]，
∴[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]；
當$\frac{1}{2}$≤x-[x]＜1時，[x+$\frac{1}{2}$]=[x]+1，[2x]=2[x]+1，
∴[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]；
綜上，[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]；

（2）解：由題意變形的：0≤$\frac{6x+5}{8}$-$\frac{15x-7}{5}$＜1①；$\frac{15x-7}{5}$=A（A為整數(shù)）②；
分別由①變形進行不等式計算得：0.9≤x＜$\frac{121}{90}$③；
由②變形進行變形得：x=$\frac{5A+7}{15}$④；
把③中x的代換④中，0.9≤$\frac{5A+7}{15}$＜$\frac{121}{90}$，
化簡變形的：1.3≤A＜$\frac{79}{30}$，
∴A=2，
∴x=$\frac{17}{15}$．

點評 此題考查了取整函數(shù)的性質(zhì)．注意利用[x]≤x＜[x]+1可得到關于x的不等式，并求出x的可能值．